In real life, we see circles everywhere — from wheels to plates to clock faces. That’s why SEBA Class 10’s Chapter 12, “বৃত্ত সম্বন্ধীয় কালি” (Areas Related to Circles), is more than just theory. It helps students understand how to calculate areas and perimeters of circular shapes, sectors, and segments — concepts used in design, architecture, and even sports fields.
At NewsNow.website , we know many students find these problems confusing at first. That’s why we’ve created easy-to-understand, step-by-step solutions to every question from the SEBA textbook. Whether it’s applying π, converting angles, or using formulas to find shaded areas — we explain it all in simple language, so you can learn fast and stay confident.
| অনুশীলনী – 12.1 |
অন্য ধৰণে দিয়া নাথাকিলে π = 22/7 লোৱা।
1. দুটা বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ যথাক্রমে 19 চে.মি. আৰু 9 চে.মি.। এটা বৃত্তৰ ব্যাসাদ্ধ নির্ণয় কৰা যাৰ পৰিধি বৃত্ত দুটাৰ পৰিধিৰ সমষ্টিৰ সমান।
উত্তৰঃ
প্রথম বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ (π₁) = 19 ছে.মি.।
দ্বিতীয় বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ (π₂) = 9 ছে.মি.।
ধৰা হ’ল তৃতীয় বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ = R ছে.মি.।
প্রশ্নমতে, প্রথম বৃত্তৰ পৰিধি দ্বিতীয় বৃত্তৰ পৰিধি = তৃতীয় বৃত্তৰ পৰিধি
⇒ 2π₁ + 2πr₂ = 2πR
⇒ 2π(r₁ + r₂) = 2πR
⇒ r₁ + r₂ = R
⇒ (19 + 9) = R
⇒ R = 28 ছে.মি.
∴ তৃতীয় বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 28 ছে.মি।
2. দুটা বৃত্তৰ ব্যাসাদ্ধ যথাক্রমে 8 চে.মি. আৰু 6 চে.মি.। এটা বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ নির্ণয় কৰা যাৰ কালি বৃত্ত দুটাৰ কালিৰ সমষ্টিৰ সমান।
উত্তৰঃ প্রথম বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ (11₁) = 8 ছে.মি.।
দ্বিতীয় বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ (π₂) = 6
ধৰা হ’ল তৃতীয় বৃত্তৰ ব্যাসার্জ = R ছে.মি.।
প্রশ্নমতে, প্রথম বৃত্তৰ পৰিধি + দ্বিতীয় বৃত্তৰ পৰিধি + তৃতীয় বৃত্তৰ পৰিধি
⇒ πR² = π1² + π₂²
⇒ πR² = π(r₁² + r₂²) = r₁² + r₂²
⇒ R² = (8)² + (6)²
⇒ R² = 64 + 36
∴ তৃতীয় বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 10ছে.মি।
3. এখন ঘূৰণীয়া আকৃতিৰ ধনু-কাঁডৰ লক্ষ্য কেন্দ্ৰৰপৰা বাহিৰলৈ পাঁচটা নম্বৰ পোৱা অংশ ক্রমে সোণালী, ৰঙা, নীলা, ক’লা আৰু বগা ৰঙেৰে চিহ্নিত কৰি চিত্ৰ 12.3 ত আঁকি দেখুওৱা হৈছে। সোণালী ৰঙেৰে নিৰ্দ্দেশ কৰা অঞ্চলটোৰ ব্যাস 21 চে.মি. আৰু বাকী ৰং দিয়া অঞ্চলবোৰৰ প্ৰত্যেকৰে প্ৰন্থ 10.5 চে.মি.। ৰং দিয়া অঞ্চল প্রত্যেকৰে কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ সোণালীৰ ক্ষেত্ৰটোৰ ব্যাস = 21 ছে.মি.।
∴ সোণালীৰ ক্ষেত্ৰটোৰ ব্যাসার্দ্ধ (R₁) = 21/2 = 10.5 ছে.মি.।
∴ সোণালীৰ ক্ষেত্ৰৰ কালি πR₁² = (22/2 × 22/2 × 22/2) ছে.মি.।
= 346.5 ছে.মি.
∴ প্ৰতিটো ঘূৰণীয়া আকৃতিৰ ধনু কাঁড়ৰ প্ৰন্থ = 10.5 ছে.মি.।
∴ ৰঙা আৰু সোণালী অঞ্চলৰ ব্যাসার্দ্ধ (R₂)
= (10.5 + 10.5) ছে.মি.। = 21 ছে.মি.।
∴ কলা, নীলা, ৰঙা আৰু সোণালী বৰ্ণৰ সংযুক্ত ব্যাসার্দ্ধ
(R₄) (31.5 + 10.5) ছে.মি.। = 42 ছে.মি.।
∴ কলাক্ষেত্ৰৰ কালি = πr² – π₃²
= [(42)² – (31.5)²]
= 22/7[1764 – 992.25]
= 22/7 × 771.75 = 2425.5 ছে.মি.²
বগা, কলা, নীলা, ৰঙা আৰু সোণালী অঞ্চলৰ সংযুক্ত ব্যাসার্দ্ধ (R₅) = R₂ + 10.5 = 42 + 10.5 = 52.2 ছে.মি.
আকৌ, কলা, নীলা, ৰঙা আৰু সোণালী অংশৰ সংযুক্ত ব্যাসার্দ্ধ R₄ = 42 ছে.মি.।
∴ বগা ঘূৰণীয়া অঞ্চলৰ কালি
= πR₅² – πR₄²
= π(R₅² – R₄²)
= 22/7[(52.5)² – (42)²] = 22/7[2756.25 – 1764]
= 22 × 992.25/7 = 21829.5/7 = 3118.5 ছে.মি.²
∴ বগা অঞ্চলৰ কালি = 3118.5 ছে.মি.
∴ ৰঙা অঞ্চলৰ কালি = πR₂² – πR₁²
∴ ৰঙা অঞ্চলৰ কালি = 1039.5 ছে.মি.।
সোণালী, ৰঙা আৰু নীলা ঘূৰণীয়া অঞ্চলৰ ব্যাসার্দ্ধ
(R₃) (10.5 + 10.5 + 10.5) = 31.5 ছে.মি.।
∴ নীলা অঞ্চলৰ কালি = πR₃² – πR₂²
= π(R₃² – R₂²)²
= 22/7[(31.5)² – (21)²]
= 22/7[992.25 – 441]
= 22/7 × 551.25
= 12127.5/7 = 1732.5 ছে.মি.²
∴ সোণালী, ৰঙা, নীলা, কলা আৰু বগা ৰঙৰ ঘূৰণীয়া ক্ষেত্ৰতৰ কালি যথাক্রমে 346.5 ছে.মি.², 1039.5 ছে.মি.²,
1732.5 ছে.মি.². 2425.5 ছে.মি.², আৰু 3118.5 ছে.মি.²,। (উত্তৰ)
4. এখন গাড়ীৰ চকাবোৰৰ প্ৰত্যেকৰে ব্যাস 80 চে.মি.। যেতিয়া গাড়ীখনে প্রতি ঘণ্টাত 66 কি.মি. দ্রুতিত গৈ থাকে, প্রতিটো চকাই 10 মিনিটত কিমানটা সম্পূর্ণ ঘুৰণ কৰে?
উত্তৰঃ গাড়ীটোৰ চকাৰ ব্যাস = 80 ছে.মি.।
∴ চকাৰ ব্যাসার্দ্ধ = 40 ছে.মি.।
= 4/100 = 0.04 মি.
∴ চকাৰ পৰিধি = 2πr
= 2 × 22/7 0.04 মি.
= 22/7 × 0.08 মি.
চকাটো 10 মিনিটত n -সংখ্যকবাৰ ঘূৰি 2 × (0.08 × 22/7) মি. দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰে।
গাড়ীৰ বেগ = 66 কি.মি./ঘন্টা।
∴ গাড়ীটো 60 মিনিটত 66 কি.মি. = 66 × 1000 মিটাৰ দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰে।
∴ গাড়ীৰ চকাটো 10 মিনিটত 4375 বাৰ ঘূৰিব।
5. তলত দিয়াবোৰত শুদ্ধ উত্তৰত চিন দিয়া আৰু তোমাৰ বাছনিৰ যুক্তি দর্শোৱা: যদি এটা বৃত্তৰ পৰিসীমা আৰু কালি সাংখ্যিকভাৱে সমান হয়, তেন্তে বৃত্তটোৰ ব্যাসার্দ্ধ হ’ল–
(A) 2 একক।
(B) π একক।
(C) 4 একক।
(D) 7 একক।
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰটো (A)
যেতিয়া 2πr = πr²
আমি পাওঁ, 2r = r² ⇒ r = 2
| অনুশীলনী – 12.2 |
অন্যধৰণে দিয়া নাথাকিলে π = 22/7 ল’বা।
1. 6 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধযুক্ত এটা বৃত্তৰ এটা বৃত্তকলাৰ কালি নির্ণয় কৰা, যদি বৃত্তকলাটোৰ কোণ 60° হয়।
উত্তৰঃ বৃত্তৰ বৃত্তকলাৰ (Sector) ব্যাসার্দ্ধ (R) = 6 ছে.মি.
কেন্দ্রস্থ কোণ (θ) = 60°
∴ বৃত্তকলাৰ কালি = 18.86 ছে.মি.² (উত্তৰ)
2. 22 চে.মি. পৰিধিযুক্ত এটা বৃত্তৰ এটা চোকৰ কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৃত্তৰ পৰিধি = 22 ছে.মি.
⇒ 2πr = 22
∴ কেন্দ্রস্থ কোণ (θ) = 90°
∴ বৃত্তৰ এটা ঢোকৰ কালি = 9.625 ছে.মি.²
3. এটা ঘড়ীৰ মিনিটৰ কাঁটাডালৰ দৈর্ঘ্য 14 চে.মি.। 5 মিনিটত ঘড়ীৰ কাঁটাডালৰ দ্বাৰা ঘূৰণৰ কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ইয়াত, r = 14 (কাটাডালৰ দৈর্ঘ্য)
কাঁটাডালে 60 মিনিত অতিক্ৰম কৰাৰ পিছত কৰা কোণ = 360°
অর্থাৎ বৃত্তকলাৰ কোণ θ = 30°
4. 10 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত এটা সমকোণ কৰে। অনুৰূপ (i) গৌণ বৃত্তখণ্ড (ii) মুখ্য বৃত্তকলাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। (ব্যৱহাৰ কৰা π = 3.14)
উত্তৰঃ
5. 21 চে.মি., ব্যাসার্দ্ধৰ এটা বৃত্তত, এটা চাপে কেন্দ্রত এটা 60° ৰ কোণ কৰে। নির্ণয় কৰাঃ
(i) চাপটোৰ দৈর্ঘ্য।
উত্তৰঃ ইয়াত, r = 21cm আৰু বৃত্তকলাৰ কোণ θ = 60°
(ii) চাপটোৰ দ্বাৰা গঠন হোৱা বৃত্তকলাটোৰ কালি।
উত্তৰঃ ইয়াত, r = 21cm আৰু বৃত্তকলাৰ কোণ θ = 60°
চাপটোৰ দ্বাৰা গঠন হোৱা বৃত্তকলাটোৰ কালি য’ত অনুৰূপ বৃত্তকলাৰ কোণ 60°
(iii) অনুৰূপ জ্যাডালৰ দ্বাৰা গঠন হোবা বৃত্তখণ্ডটোৰ কালি।
উত্তৰঃ ইয়াত, r = 21cm আৰু বৃত্তকলাৰ কোণ θ = 60°
চিত্ৰৰ পৰা আমি পাওঁ, ∠A = ∠B = 1/2 (180° – 60°) = 60°
অর্থাৎ, ∆ΟAB এটা সমবাহু ত্রিভুজ আৰু ইয়াৰ বাহুৰ দৈর্ঘ্য = 21cm.
এতিয়া, অনুৰূপ জ্যা AB ৰ দ্বাৰা গঠন হোৱা বৃত্তখণ্ডটোৰ কালি = বৃত্তকলাৰ কালি – ∆ΟAB ৰ কালি
6. 15 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এডাল জ্যাই কেন্দ্ৰত এটা 60° ৰ কোণ কৰে। বৃত্তটোৰ অনুৰূপ গৌণ আৰু মুখ্য বৃত্তখণ্ডবোৰৰ কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
AB জ্যাই কেন্দ্রত 60°
ইয়াত, r = 15cm, θ = 60°
তেতিয়া ∆ΟΑΒ ত ∠A = ∠B = 1/2 {180° – 60°} = 60°
গতিকে, ∆ΟAB এটা সমবাহু ত্রিভুজ যাৰ প্ৰতিটো বাহুৰ দৈর্ঘ্য 15cm.
7. 12 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এডাল জ্যাই কেন্দ্রত এটা 120° ৰ কোণ কৰে। বৃত্তটোৰ অনুৰূপ বৃত্তখণ্ডটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। (ব্যৱহাৰ কৰা = 3.14 আৰু √3= 1.73)
উত্তৰঃ
বৃত্তৰ ব্যাসার্জ (R) = 12 ছে.মি.।
কেন্দ্রস্থ কোণ (θ) = 120°
∠AOB -ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক OM অংকন কৰা হ’ল।
∴ ∠AOM = ∠BOM = 60°
∴ AM = MB = 1/2 AB
∆ΟΜΑ ৰ পৰা পাওঁ–
∠AOM + ∠OMA + ∠OAM = 180°
⇒ 60° + 90° + ∠OAM = 180°
⇒ 150° + ∠OAM = 180°
⇒ ∠OAM = 180° – 150° = 30°
অনুৰূপভাৱে, ∠AOM = 30° = ∠OBM
∴ বৃত্তখণ্ডৰ = কালি বৃত্তাংশৰ কালি – ΔΟAB -ৰ কালি
∴ বৃত্তখণ্ডৰ কালি = 88.44 ছে. মি.²
8. 15 মিটাৰ বাহুৰ এখন বৰ্গক্ষেত্ৰাকাৰ ঘাঁহনি পথাৰৰ এটা চুকত এটা খুঁটিত 5 মিটাৰ দীঘল ৰছীৰে এটা ঘোঁৰা বান্ধি থোৱা হৈছে। (চিত্র 12.11)
(i) ঘোঁৰাটো য’ত চৰিব পাৰে পথাৰ খনৰ সেই অংশটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
(ii) যদি ৰছীডাল 5 মিটাৰৰ সলনি 10 মিটাৰ দীঘল হয়, চৰণীয়া অঞ্চলটোৰ বৃদ্ধি নিৰ্ণয় কৰা। (ব্যৱহাৰ কৰা π = 3.14)
উত্তৰঃ r = 5m, θ = 90°
ঘোঁৰাটোৱ চৰিব পৰা পথাৰখনৰ অংশৰ কালি = OAB বৃত্তকলাৰ কালি
OCD বৃত্তকলাৰ ব্যাসার্দ্ধ = 10m
আৰু বৃত্ত কলাৰ কোণ = 90°
OCD বৃত্তকলাৰ কালি
গতিকে চৰণীয়া অঞ্চলটোৰ বৃদ্ধিৰ কালি = OCD বৃত্তকলাৰ কালি – OAB বৃত্তকলাৰকালি
= 78.5m² – 19.625m² = 58.875m²
9. 35 মি.মি. ব্যাসযুক্ত এটা বৃত্তৰ আকাৰৰ এটা ব্ৰোচপিন ৰূপৰ তাঁৰেৰে তৈয়াৰ কৰা হৈছে। আকৌ, তাঁৰডাল 5 ডাল ব্যাস হোৱাকৈ ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে আৰু চিত্ৰ 12.12ত দেখুওৱাৰ দৰে এই ব্যাসবোৰে বৃত্তটোক 10 টা সমান বৃত্তকলাত ভাগ কৰিছে।
(i) প্রয়োজন হোৱা ৰূপৰ তাঁৰৰ মুঠ দৈর্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৃত্তটোৰ ব্যাস = 35mm
ব্যাসার্দ্ধ r = 35/2mm
তাঁৰডালৰ মুঠ দৈর্ঘ্য = 5 ডাল ব্যাস হোৱাকৈ ব্যৱহাৰ হোৱা তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য 35 + বৃত্তটোৰ পৰিধিৰ বাবে হোৱা তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য
(ii) ব্ৰোচপিনটোৰ প্ৰতিটো বৃত্তকলাৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
10. এটা ছাতিৰ সমান ব্যৱধানত থকাকৈ 8 ডাল ৰিব্ আছে (চিত্র 12.13 চোৱা)। ছাতিটোক 45 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ এটা সমান বৃত্ত হ’ব বুলি ধৰি লৈ, ছাতিটোৰ দুটা ক্রমিক ৰিবৰ মাজৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ইয়াত, r = 45cm
θ = দুডাল সংলগ্ন ৰিবৰ মাজৰ বৃত্তকলাৰ কোণ।
⇒ 360°/8 = 45°
গতিকে, ছাতিটোৰ দুটা ক্ৰমিক ৰিবৰ মাজৰ কালি = এটা বৃত্তকলাৰ কালি
11. এখন গাড়ীৰ ওপৰাউপৰিকৈ লাগি নথকাকৈ দুডাল ৱাইপাৰ (Wiper) আছে। 115° ৰ এটা কোণৰে ঘূৰি থকা প্রতিডাল ৱাইপাৰৰ 25 চে.মি. দৈৰ্ঘ্যৰ এখন ব্লেড আছে। ব্লেডবোৰৰ প্রতিটো ঘূৰণত পৰিষ্কাৰ হোৱা মুঠ অংশৰ কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ এটা গাড়ীৰ ৱাইপাৰৰ দৈর্ঘ্য (R) = 25 ছে.মি.
কেন্দ্রস্থ কোণ (θ) = 115°
∴ বৃত্তাংশৰ কালি = এটা ব্লেডৰ দ্বাৰা পৰিস্কাৰ কৰা অঞ্চলৰ কালি
∴ বাইপাৰৰ ব্লেড দুটাৰ দ্বাৰা পৰিস্কাৰ কৰা অঞ্চলৰ কালি
= (2 × 627.48) ছে.মি.²
= 1254.96 ছে.মি.² (উত্তৰ)
12. পানীৰ তলত থকা শিলবোৰৰ বাবে জাহাজবোৰক সতৰ্ক কৰি দিবলৈ, এটা লাইটহাউচে ৰঙা বৰণীয়া পোহৰ 16.5 কি.মি. দূৰত্বলৈ 80° কোণৰ এটা বৃত্তকলাৰ ওপৰত বিয়পায়। সাগৰৰ যি অঞ্চলৰ ওপৰত জাহাজবোৰ সতর্ক কৰি দিয়া হয় সেই অংশৰ কালি নির্ণয় কৰা। (ব্যৱহাৰ কৰা π = 3.14)।
উত্তৰঃ বৃত্তাংশৰ কোণ (θ) = 180°
বৃত্তংশৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 16.5 কি.মি.
বৃত্তাংশৰ কালি (সমূদ্র পৃষ্ঠাৰ যি অঞ্চলত সতর্ক সংকেত পঠোৱা হয়)
সমুদ্র পৃষ্ঠাত সতর্ক সংকেত পঠোৱা অঞ্চলৰ কালি= 189.97 কি.মি.²
13. চিত্র 12.14 ত দেখুওৱাৰ দৰে এখন ঘূৰণীয়া টেবুল কভাৰৰ ছয়টা সমান নক্সা আছে। যদি কভাৰটোৰ ব্যাসার্দ্ধ 28 চে.মি. হয়, তেন্তে প্রতি চে.মি.² ত 0.35 টকা হাৰত নক্সাবোৰ তৈয়াৰ কৰাৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা। (ব্যৱহাৰ কৰা √3 = 1.7)
উত্তৰঃ ঘূৰণীয়া টেবুল কভাৰৰ সমান মাপৰ নক্সাৰ সংখ্যা = 6
নক্সাৰ ব্যাসার্চ = (R) = 28 ছে.মি.
প্রতিটো নক্সাৰ কেন্দ্রস্থ কোণ (θ) = 360°/6 = 60°
∴ কেন্দ্রস্থ কোণ = 60° আৰু OA = OB
∴ OAB এটা সমবাহু ত্রিভুজ। ইয়াৰ প্ৰতিটো বাহুৰ দৈর্ঘ্য = 28 ছে.মি.।
টেবুল কভাৰৰ এটা নক্সা কৰা অঞ্চলৰ কালি
= OAB বৃত্তাংশৰ কালি ∆OAB -ৰ কালি
∴ এটা নক্সা কৰা অঞ্চলৰ কালি = 77.46 ছে.মি.²
∴ ছয়টা নক্সা কৰা অঞ্চলৰ কালি = (77.46 × 6) ছে.মি.²
= 464.76 ছে.মি.²
∴ প্রতি বর্গ ছে.মি. হাৰত খৰচ পৰে = 0.35 টকা।
∴ 464.76 ছে.মি. ত খৰচ পৰে = (0.35 × 464.76) টকা।
= 162.666 … = 162.67 টকা (প্রায়)
14. শুদ্ধ উত্তৰত চিন দিয়া:
R ব্যাসার্দ্ধ যুক্ত এটা বৃত্তৰ p (ডিগ্ৰীত) কোণৰ এটা বৃত্তকলাৰ কালি হ’ল–
উত্তৰঃ শুদ্ধ উত্তৰটো (D)
| অনুশীলনী – 12.3 |
অন্যধৰণে উল্লেখ নাথাকিলে, π = 22/7 ল’বা।
1. চিত্র 12.19 ত, আচ্ছাদিত অঞ্চলটোৰ কালি উলিওৱা, যদি PQ = 24 চে.মি., PR = 7 চে.মি. আৰু বৃত্তটোৰ কেন্দ্র O।
উত্তৰঃ প্রদত্ত: PQ = 24 ছে.মি., PR = 7 ছে.মি.
RQ = বৃত্তটোৰ ব্যাস।
∴ ∠RPO = 90° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
∴ PQR সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ–
QR² = RP² + PQ²
∴ ব্যাস = 25 ছে.মি.
ব্যাসার্দ্ধ (R) = 25/2 ছে.মি.
∴ আচ্ছাদিত অংশৰ কালি = অর্ধবৃত্তৰ কালি ∆RPQ -ৰ কালি
∴ আচ্ছাদিত অংশৰ কালি = 161.53 ছে.মি.²
2. চিত্র 12.20ত, আচ্ছাদিত অঞ্চলটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা যদি O কেন্দ্র যুক্ত ঐককেন্দ্রিক বৃত্ত দুটাৰ ব্যাসার্দ্ধ ক্রমে 7 চে.মি. আৰু 14 চে.মি. আৰু ∠AOC = 40°.
উত্তৰঃ সৰু বৃত্তটোৰ ব্যাসার্দ্ধ (r) = 7 ছে.মি.
ডাঙৰ বৃত্তটোৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 14 ছে.মি.
কেন্দ্রস্থ কোণ, ∠AOC(θ) = 40°
আচ্ছাদিত অংশৰ কালি
= ডাঙৰ বৃত্তাংশ OAC -ৰ কালি -সৰু বৃত্তাংশ OBD -ৰ কালি।
∴ আচ্ছাদিত অংশৰ কালি = 51.33 ছে.মি.²।
3. চিত্র 12.21 ত. আচ্ছাদিত অঞ্চলটোৰ কালি নির্ণয় কৰা, যদি 14 চে.মি. বাহুৰ ABCD এটা বর্গক্ষেত্র আৰু APD আৰু BPC অর্ধবৃত্ত হয়।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ এটা বাহু = 14 ছে.মি.
অর্ধবৃত্তৰ ব্যাস (AB = BC) = 14 ছে.মি.
∴ বৰ্গৰ কালি = (বাহু)²
= (14 × 14) = 196 ছে.মি.²।
∴ দুটা অর্ধ-বৃত্তৰ কালি = 77 × 2 = 154 ছে.মি.²
∴ আচ্ছাদিত অংশ কালি = ABCD বৰ্গৰ কালি দুটা অর্ধবৃত্তৰ কালি।
= (196 – 154) ছে.মি.² = 42 ছে.মি.²
∴ আচ্ছাদিত অংশ কালি = 42 ছে.মি.² (উত্তৰ)
4. চিত্র 12.22ত আচ্ছাদিত অঞ্চলটোৰ কালি নির্ণয় কৰা য’ত 12 চে.মি. বাহুৰ এটা সমবাহু ত্রিভুজৰ শীর্ষ বিন্দু Oক কেন্দ্র হিচাবে ধৰি 6 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধ এটা বৃত্তীয় চাপ আঁকা হৈছে।
উত্তৰঃ বৃত্তটোৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 6 ছে.মি.।
OAB সমবাহু ত্রিভুজৰ এটা বাহুৰ দৈর্ঘ্য = 12 ছে.মি.
∴ OA = OB = AB = 12 ছে.মি.। আৰু কেন্দ্রস্থকোণ 60°
∴ মুখ্য বৃত্তাংশৰ কালি = বৃত্তৰ কালি – গৌণ বৃত্তাংশৰ কালি
∴ মুখ্য বৃত্তাংশৰ কালি = 94.28 ছে.মি.²
আকৌ, OAB সমবাহু ত্রিভুজৰ
= 62.28 ছে.মি.²
∴ আচ্ছাদিত অংশৰ কালি = OAB সমবাহু ত্রিভুজৰ কালি + মুখ্য বৃত্তাংশৰ কালি
= (62.28 + 94.28) ছে.মি.²
= 156.56 ছে.মি.² (উত্তৰ)
5. চিত্র 12.23ত দেখুওৱাৰ দৰে 4 চে.মি. বাহুৰ এটা বৰ্গক্ষেত্ৰৰ প্ৰতিটো চুকৰপৰা 1 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ এটা বৃত্তৰ এটা চোক কাটি লোৱা হৈছে আৰু 2 চে.মি. ব্যাসৰ এটা বৃত্তও কাটি লোৱা হৈছে। বর্গক্ষেত্ৰটোৰ অৱশিষ্ট অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ বাহু = 4 cm
∴ ABCD বৰ্গৰ বাহু = 4 x 4 cm² = 16 cm²
∴ বৰ্গৰ প্ৰতিটো চোকৰ দৈর্ঘ্য 1 চেন্টিমিটাৰ
মাজৰ বৃত্তটোৰ ব্যাস = 2 cm
⇒ মাজৰ বৃত্তটোৰ ব্যাসার্ধ = 1 cm
এতিয়া আচ্ছাদিত অংশৰ কালি
= [ABCD বৰ্গৰ কালি] – [(4টা চোকৰ কালি) + (মাজৰ বৃত্তৰ কালি)]
6. চিত্র 12.24ত দেখুওৱাৰ দৰে 32 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ এখন বৃত্তীয় টেবুলকভাৰৰ মাজত ABC এটা সমবাহু ত্রিভুজ এৰি এটা নক্সা তৈয়াৰ কৰা হৈছে। নক্সাটোৰ কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ টেবুল কভাৰৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 32 ছে.মি.
∴ OA = OB = OC = 32 ছে.মি.
∆ABC সমবাহু ত্রিভুজৰ–
AB = AC = BC = 32
∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 120°
∆BOC -ত, O বিন্দুৰ পৰা BC -ৰ ওপৰত OM লম্ব সমদ্বিখণ্ডক অংকন কৰা হ’ল।
∴ BM = MC = 1/2 BC
OB = OC [একে বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ]
∴ ∠OBC = ∠OCM
∴ ∠0 + ∠OBC + ∠OCM = 180°
⇒ 120° + ∠OBC + ∠OCM = 180°
⇒ ∠OBC + ∠OCM = 180° – 120° = 60°
⇒ ∠OBC = ∠OCM = 60°/2 = 30° [∴ OB = OC]
আকৌ, ∠BOM = ∠COM = 60°
∴ ∆ΟΜΒ ≌ ∆ΟΜC [R – H – S স্বীকার্য্যমতে]
∴ ∆ΟΜΒ -ৰ পৰা–
cos 30° = BM/OB
∴ নক্সাটোৰ কালি = বৃত্তৰ কালি ∆ABC -ৰ কালি
= 3218.28 – 1328.64
= 1889.64 ছে.মি.²। (উত্তৰ)
7. চিত্র 12.25 ত, 14 চে.মি. বাহুৰ ABCD এটা বর্গক্ষেত্র। A, B, C আৰু D কেন্দ্ৰযুক্ত চাৰিটা বৃত্ত আঁকা হ’ল, যাতে প্রতিটো বৃত্তই বাকী থকা তিনিটা বৃত্তৰ দুটাক বহিঃভাৱে স্পর্শ কৰে। আচ্ছাদিত অঞ্চলটোৰ কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ABCD বৰ্গৰ বাহু = 14 cm
∴ ABCD বৰ্গৰ কালি = 14 × 14 cm² = 196 cm²
∵ প্রত্যেকটো বৃত্তই পৰস্পৰ স্পৰ্শ কৰিছে
এতিয়া বৃত্তকলাৰ কালি
∴ আচ্ছাদিত অংশৰ কালি = [ABCD বৰ্গৰ কালি] – [4টা বৃত্তৰ কালি]
= 196 cm² – 154 cm² = 42 cm².
8. চিত্র 12.26 ত, এটা দৌৰা বাট দিয়া আছে, যাৰ বাওঁফাল আৰু সোঁফাল অর্ধবৃত্ত।
ভিতৰৰ সমান্তৰাল ৰেখাখণ্ড দুটাৰ মাজত দূৰত্ব 60 মিটাৰ আৰু সেইবোৰ প্রত্যেকে 106 মিটাৰ দীঘল। যদি বাটটোৰ প্ৰস্থ 10 মিটাৰ হয়, তেন্তে নিৰ্ণয় কৰা:
(i) বাটটোৰ চাৰিওফালে ইয়াৰ ভিতৰৰ ফালৰ দূৰত্ব।
উত্তৰঃ
বাটটোৰ চাৰিওফালে ইয়াৰ ভিতৰৰ ফালৰ দূৰত্ব
= BC + EH + BPE + CQH
(ii) বাটটোৰ কালি।
উত্তৰঃ বাটটোৰ কালি
= আচ্ছাদিত অংশৰ কালি
= (ABCD আয়তৰ কালি) + (EFGH আয়তৰ কালি) + 2 (40 মিটাৰ ব্যাসার্ধযুক্ত দুটা অর্ধবৃত্তৰ কালি – 30 মিটাৰ ব্যাসার্ধযুক্ত বৃত্তৰ কালি)
9. চিত্র 12.27ত, এটা বৃত্তৰ (O কেন্দ্ৰযুক্ত) AB আৰু CD ব্যাস দুডাল পৰস্পৰ লম্ব আৰু OD হ’ল সৰু বৃত্তটোৰ ব্যাস। যদি OA = 7 চে.মি., তেন্তে আচ্ছাদিত অঞ্চলৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ O বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ
OA = 7cm
⇒ AB = 2 OA = 2 × 7 = 14 cm
OC = OA = 7cm
∵ AB আৰু CD পৰস্পৰ লম্ব
⇒ OC ⏊ AB
এতিয়া আচ্ছাদিত অংশৰ কালি
= [সৰু বৃত্তৰ কালি] + [OABC অর্ধবৃত্তৰ কালি] – [∆ABCৰ কালি]
10. এটা সমবাহু ত্রিভুজ ABC ৰ কালি 17320.5 চে.মি.²। ত্রিভুজটোৰ প্রতিটো শীর্ষবিন্দুক কেন্দ্র হিচাপে লৈ ত্রিভুজটোৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ আধাৰ সমান ব্যাসার্দ্ধ লৈ একোটা বৃত্ত আঁকা হ’ল (চিত্র 12.28 চোৱা)। আচ্ছাদিত অঞ্চলটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। (ব্যৱহাৰ কৰা π = 3.14 আৰু √3= 1.73205)
উত্তৰঃ ∆ABC ৰ কালি = 17320.5 cm²
এতিয়া আচ্ছাদিত অংশৰ কালি
= [ABC সমবাহু ত্রিভুজৰ কালি] – [3টা সমান বৃত্তকলাৰ কালি]
= 17320.5 cm² – 15700 cm² = 1620.5 cm².
11. এখন বর্গাকাৰ ৰুমালত প্রতিটো 7 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ নটা বৃত্তীয় নক্সা আঁকা হ’ল (চিত্র 12.29)। ৰুমালখনৰ বাকী থকা অংশৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ∵ প্রত্যেকটো বৃত্তই পৰস্পৰ স্পৰ্শ কৰি আছে
∴ ABCD বৰ্গৰ বাহু = 3 × বৃত্তৰ ব্যাস
= 3 × (2 × বৃত্তৰ ব্যাসার্ধ) = 3 × (2 × 7 cm) = 42 cm
⇒ ABCD বৰ্গৰ কালি = 42 × 42 cm² = 1764 cm²
∴ 9টা বৃত্তৰ কালি = 154 × 9 = 1386 cm²
∴ ৰুমালখনৰ বাকী থকা অংশৰ কালি = 1764 – 1386 cm² = 378 cm²।
12. চিত্র 12.30ত, কেন্দ্র O আৰু ব্যাসার্দ্ধ 3.5 চে.মি. যুক্ত এটা বৃত্তৰ OACB এটা চোক। যদি OD = 2 চে.মি., তেন্তে
(i) OACB চোকৰ।
(ii) আচ্ছাদিত অংশৰ কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ∵ ইয়াত বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ আৰু ব্যাসার্ধ 3.5 cm
13. চিত্র 12.31ত, এটা বৃত্তৰ চোক OPBQ ত OABC এটা বর্গক্ষেত্র অংকন কৰা হ’ল। যদি OA = 20 চে.মি., তেন্তে আচ্ছাদিত অঞ্চলৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। (ব্যৱহাৰ কৰা π = 3.14)
উত্তৰঃ OABC এটা বৰ্গ যাতে ইয়াৰ বাহু OA = 20 cm
∴ OB² = OA² + OB²
= [20² + 20²] = [400 + 400] = [800]
OABC বৰ্গৰ কালি = 20 × 20 cm² = 400 cm²
∴ আচ্ছাদিত অংশৰ কালি = 628cm² – 400 cm² = 228 cm².
14. কেন্দ্র O আৰু ব্যাসার্দ্ধ 21 চে.মি. আৰু 7 চে.মি. ঐককেন্দ্রিক বৃত্ত দুটাৰ ক্রমে AB আৰু CD দুটা চাপ (চিত্র 12.32 চোৱা)। যদি ∠AOB = 30°, তেন্তে আচ্ছাদিত অঞ্চলটোৰ কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ∴ ডাঙৰ বৃত্তৰ ব্যাসার্ধ
R = 21 cm
বৃত্তকলাৰ কোণ θ = 30°
আকৌ সৰু বৃত্তটোৰ ব্যাসার্ধ
r = 7cm
তদুপৰি সৰু বৃত্তকলাৰ কোণ 30°
15. চিত্র 12.33ত, 14 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ এটা বৃত্তৰ ABC এটা চোক আৰু BC ক ব্যাস হিচাপে লৈ এটা অর্ধবৃত্ত আঁকা হ’ল। আচ্ছাদিত অঞ্চলটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ চোকৰ ব্যাসার্ধ = 14 cm
ABPC চোকৰ কালি = 22 × 7cm³ = 154 cm²
∆ABCৰ কালি = 1/2 × 14 × 14 cm² = 98 cm²
⇒ BPC বৃত্তখণ্ডৰ কালি = 154 cm² – 98 cm² = 56 cm²
∆ABC সমকোণী ত্রিভুজত
= 11 × 7 × 2 cm² = 154 cm²
আচ্ছাদিত অংশৰ কালি = [BQC বৃত্তখণ্ডৰ কালি] – [BPC বৃত্তখণ্ডৰ কালি]
= 154 cm² 56 cm² = 98 cm².
16. প্রতিটো 8 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ বৃত্তৰ দুটা চোকৰ মাজত চিত্র 12.34 ত উমৈহতীয়া নক্সা থকা অঞ্চলটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ABCD বৰ্গৰ কালি = 8 × 8 cm² = 64 cm²
