Understanding the chapter ‘বৃত্ত’ (Circles) in Class 10 Mathematics under SEBA is crucial for mastering basic geometry concepts that appear frequently in exams. In this chapter, students explore the properties of tangents, theorems related to circles, and their logical proofs — all of which are important for developing reasoning and problem-solving skills.
To help students learn better and faster, NewsNow.website offers clear, step-by-step solutions to all textbook questions from Chapter 10. These solutions are prepared according to the SEBA syllabus and written in easy language, making them ideal for self-study, exam revision, and daily practice.
Whether you’re struggling to understand tangent properties or just looking to cross-check your answers, our Chapter 10 – Circles (বৃত্ত) solutions are here to guide you. Plus, the content is fully mobile-friendly and absolutely free for all learners.
| অনুশীলনী – 10.1 |
প্রশ্ন 1. এটা বৃত্তৰ কিমানবোৰ স্পৰ্শক থাকিব পাৰে?
উত্তৰঃ এটা বৃত্তৰ অসংখ্য স্পর্শক থাকিব পাৰে।
প্রশ্ন 2. খালী ঠাই পূৰ্ণ কৰা।
(i) এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শকে ইয়াক ______________ বিন্দুত ছেদ কৰে।
উত্তৰঃ এটা।
(ii) এটা বৃত্তক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰা এডাল ৰেখাক ______________ বোলে।
উত্তৰঃ ছেদক (Secant)।
(iii) এটা বৃত্তৰ বৰ বেছি ______________ সমান্তৰাল স্পর্শক থাকিব পাৰে।
উত্তৰঃ দুটা।
(iv) এটা বৃত্তৰ এডাল স্পৰ্শক আৰু বৃত্তটোৰ উমৈহতীয়া বিন্দুটোক ______________ বোলে।
উত্তৰঃ স্পর্শবিন্দু।
প্রশ্ন 3. 5ছে মি. ব্যাসাৰ্দ্ধযুক্ত এটা বৃত্তৰ এটা বিন্দু P ত টনা এডাল স্পর্শক OQ য়ে কেন্দ্ৰ O ৰ মাজেৰে যোৱা এডাল ৰেখাক Q বিন্দুত লগ লাগে যাতে OQ = 12 চে মি.। PQ ৰ দৈৰ্ঘ্য হ’ল:
(a) 12cm
(b) 13cm
(c) 8.5 cm
(d) √119 cm.
উত্তৰঃ ইয়াত, OP = 5cm, OQ = 12 cm
⇒ (12)² = (5)² + QP²
⇒ QP² = 144 – 25 = 119 ⇒ PQ = √119 cm
∴ শুদ্ধ উত্তৰ হ’ল: (d)
প্রশ্ন 4. এটা বৃত্ত আৰু এডাল প্রদত্ত ৰেখাৰ সমান্তৰালকৈ দুডাল ৰেখা আঁকা যাতে এডাল স্পর্শক হয় আৰু আনডাল ছেদক হয়।
উত্তৰঃ প্রশ্নমতে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট এটা বৃত্ত অংকন কৰা হ’ল আৰু এটা ৰেখা (প্ৰদত্ত)।
এতিয়া l ৰেখাৰ সমান্তৰাল কৰি m আৰু n দুটা ৰেখা অংকন কৰা হ’ল, যাতে m স্পর্শক l -ৰেখাৰ সমান্তৰাল আৰু n ছেদকও ৰেখাৰ সমান্তৰাল। (প্রমাণিত)
| অনুশীলনী – 10.2 |
প্রশ্ন 1. এটা বিন্দু Q ৰ পৰা এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শকডালৰ দৈৰ্ঘ্য 24 চে.মি. আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা Q ৰ দূৰত্ব 25 চে.মি. বৃত্তটোৰ ব্যাসৰ্দ্ধ হ’ল:
(a) 7 cm
(b) 12 cm
(c) 15 cm
(d) 24.5 cm.
উত্তৰঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তত, PQ স্পর্শক = 24 ছে.মি. OP(r) =?
এতিয়া, PQO সমকোণী ত্ৰিভুজৰ পৰা –
∴ শুদ্ধ উত্তৰ হ’ল: (a)
প্রশ্ন 2. চিত্র 10.11ত যদি O কেন্দ্ৰ যুক্ত এটা বৃত্তৰ TP আৰু TQ দুডাল স্পর্শক, যাতে POQ = 110°, তেন্তে ∠PTQ
(a) 60°
(b) 70°
(c) 80°
(d) 90° ৰ সমান।
উত্তৰঃ O কেন্দ্ৰ যুক্ত এটা বৃত্তৰ TP আৰু TQ দুডাল স্পর্শক, যাতে ∠POQ = 110°
∴ OP ⏊ PT আৰু OQ ⏊ QT
⇒ ∠OPT = 90 আৰু ∠OQT = 90°
TPOQ চতুৰ্ভুজৰ পৰা আমি পাওঁ –
∴ ∠PTQ + 90° +110° + 90° = 360°
⇒ ∠PTQ + 290° = 360°
∠PTQ = 360° – 290° = 700
শুদ্ধ উত্তৰটো (B)।
প্রশ্ন 3. যদি এটা বিন্দু P ৰ পৰা O কেন্দ্রযুক্ত এটা বৃত্তৰ PA আৰু PB স্পর্শককেইডালে পৰস্পৰ 80° কোণত হালি থাকে, তেন্তে ∠POA
(a) 50°
(b) 60°
(c) 70°
(d) 80° ৰ মান।
উত্তৰঃ
প্রদত্ত চিত্রত, OA ব্যাসৰ্দ্ধ আৰু AP স্পর্শক।
∴ ∠OAP = 90°
অনুৰূপভাৱে, ∠OBP = 90°
এতিয়া, ∆PAO আৰু ∆PBO
∠PAO = PBO = 90°
OP = OP (সাধাৰণ বহু)
OA = OB (একে বৃত্তৰ ব্যাসৰ্দ্ধ)
∴ ∆PAO ≅ ∆PBO (R – H – S ত্রিভূজৰ স্বীকাৰ্য মতে)
∴ ∠AOP = ∠BOP
⇒ ∠AOP = ∠BOP = ½ ∠AOB…………. (1)
আকৌ, OAPB চতুৰ্ভুজ,
∠OBP + ∠BPA + ∠PAO + ∠AOB = 360°
⇒ 90° + 80° + 90° + ∠AOB = 360°
⇒ ∠AOB = 360° – 260°
⇒ ∠AOB = 100° …………… (2)
∴ (1) আৰু (2) – ৰ পৰা পাওঁ –
∠AOP = ∠BOP = ½ × 100° = 50°
∴ শুদ্ধ উত্তৰ হ’ল: (A)
প্রশ্ন 4. প্রমাণ কৰা যে বৃত্তৰ ব্যাসৰ মূৰত টনা স্পর্শকবোৰ সমান্তৰাল।
উত্তৰঃ
O কেন্দ্ৰযুক্ত বৃত্তৰ AB আৰু CD স্পৰ্শকৰ স্পর্শবিন্দু ক্রমে আৰু প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে AB | CDI ∠AEO = AEF = 90° (বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ আৰু স্পর্শবিন্দু সংযোগী ব্যাসার্ধ স্পৰ্শকৰ ওপৰত লম্ব) আৰু ∠OFD = ∠EFD = 90° (বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ আৰু স্পর্শবিন্দু সংযোগী ব্যাসার্ধ স্পর্শকৰ ওপৰত লম্ব)
∵ ∠AEF = ∠EFD
∴ AB II CD
5. প্রমাণ কৰা যে বৃত্তৰ স্পৰ্শকৰ স্পর্শবিন্দুত টনা লম্বডাল কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে যায়।
উত্তৰঃ চিত্রত O কেন্দ্রীয় বৃত্তৰ P বিন্দুত AB এডাল স্পর্শক যদি সম্ভৱ, ধৰা হ’ল PQ, ABৰ ওপৰত লম্ব যাতে ই O বিন্দুৰ মা OP সংযোগ কৰা হ’ল-
যিহেতু এটা বৃত্তৰ যিকোনো বিন্দুত টনা স্পর্শকডাল স্পর্শবিন্দুৰ মাজেৰে লম্ব।
∴ AB ⏊ OP অর্থাৎ ∠OPB = 90° …(1)
অংকন মতে,
AB ⏊ PQ ∠QPB = 90° …(2)
(1) আৰু (2)ৰ পৰা
∠QPB = ∠OPВ
যিটো সত্য যেতিয়া আৰু O একেটাই বিন্দু।
গতিকে, বৃত্তৰ স্পৰ্শকৰ স্পর্শবিন্দুত টনা লম্বডাল কেন্দ্রৰ মাজেৰে যায়।
6. বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰপৰা 5 চে.মি. দূৰত্বত থকা এটা বিন্দু A ৰ পৰা স্পর্শক এডালৰ দৈর্ঘ্য 4 চে.মি.। বৃত্তটোৰ ব্যাসার্দ্ধ নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ যিহেতু এটা বৃত্তৰ যিকোনো বিন্দুত টনা স্পর্শকডাল স্পর্শবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসার্ধৰ লম্ব।
∴ ∠OTA = 90°
এতিয়া ∆ΟΤΑ সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা আমি পাওঁ –
OP² = OT² + PT²
⇒ 5² = OT² + 4²
⇒ OT² = 5² – 4²
⇒ OT² = (5 – 4) (5 + 4)
⇒ OT² = 1 × 9 = 9 = 3²
⇒ OT = 3
গতিকে বৃত্তটোৰ ব্যাসার্ধ 3 cm।
7. 5 চে.মি. আৰু 3 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ দুটা ঐককেন্দ্রিক বৃত্ত আছে। ডাঙৰ বৃত্তৰ জ্যাডালে সৰু বৃত্তক স্পর্শ কৰে, জ্যাডালৰ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
চিত্রত ঐককেন্দ্রিক বৃত্তৰ কেন্দ্র O।
AB ডাঙৰ বৃত্তটোৰ জ্যা আৰু ই সৰু বৃত্তটোক P বিন্দুত স্পর্শ কৰে। যিহেতু OP ব্যাসার্ধই সৰু বৃত্তটোৰ P স্পর্শবিন্দুত স্পর্শ কৰে
∴ OP ⏊ AB
⇒ ∠APB = 90°
তদুপৰি, বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা জ্যালৈ টনা লম্বই জ্যাডালক সমানেই দুভাগ কৰে
∴ OPয়ে AB ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে ⇒ AP = 1/2AB
এতিয়া, ∆ΑΡΟ সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা
OA² = AP² – OP²
⇒ 5² = AP² – 3²
⇒ AP² = 5² – 3²
⇒ AP² = (5 – 3) (5 + 3) = 2 × 8
⇒ AP² = 16 = (4)²
⇒ AP = 4 cm
⇒ ½ AB = 4 ⇒ AB = 2 × 4 = 8 cm
গতিকে AB জ্যাডালৰ দৈর্ঘ্য ৪ cm।
8. এটা বৃত্তক স্পর্শ কৰাকৈ ABCD এটা চতুর্ভুজ আঁকা হ’ল (চিত্র 10.12 চোৱা)। প্রমাণ কৰা যে AB + CD = AD + BC
উত্তৰঃ AP = AS … (i)
BP = BQ … (ii)
CR = CQ … (iii) [বৃত্তৰ বহিঃবিন্দুৰ পৰা টনা স্পৰ্শকৰ দৈৰ্ঘ সমান]।
DR = DS … (iv)
(i) ৰ পৰা (iv) লৈ যোগ কৰি-
(AP + BP) + (CR + DR) = AS + BQ + CQ + DS
AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ)
AB + CD = AD + BC
9. চিত্র 10.13ত, O কেন্দ্র যুক্ত বৃত্তৰ XY আৰু X’Y’ দুডাল সমান্তৰাল স্পর্শক আৰু স্পর্শ বিন্দু C ত আন এডাল স্পর্শক AB য়ে XY ক A ত আৰু X’Y’ ক B ত কাটে। প্রমাণ কৰা যে ∠AOB = 90°.
উত্তৰঃ ΔΟΑΡ আৰু AOAC ৰ
OP = OC (ব্যাসার্দ্ধ)
OA = OA (সাধার্ণ বাহু)
AP = AC (স্পর্শক)
∴ ΔΟΑΡ ≅ ΔΟΑC
⇒ ∠PAB = ∠OAC + ∠OAP
⇒ ∠PAB = 2∠OAC ………..(i)
একেদৰে, ∠QBA = 2∠OBC ………(ii)
এতিয়া, ∠PAB + ∠QBA = 180°
⇒ 2(∠OAC + ∠OBC) = 180°
⇒ ∠OAC + ∠OBC = 90°
আকৌ, ΔΑΟΒ ৰ
∠OAC + ∠OBC + ∠AOB = 180°
⇒ 90°+ ∠AOB = 180°
⇒ ∠AOB = 90°
10. প্রমাণ কৰা যে বৃত্তৰ এটা বহিঃ বিন্দুৰপৰা টনা স্পর্শক দুডালৰ মাজৰ কোণটো স্পর্শবিন্দু দুটা সংযোগী ৰেখাখণ্ডৰদ্বাৰা কেন্দ্ৰত সম্মুখকৈ উৎপন্ন কৰা কোণটোৰ সম্পূৰক।
উত্তৰঃ প্ৰমাণ কৰিব লাগে ∠1+ ∠3 = 180°
প্রমাণ:
∠2 = 90° ……. (i)
∠4 = 90° …… (ii)
[বৃত্তৰ ব্যাসার্ধ স্পৰ্শকৰ ওপৰত লম্ব]
OAPB চতুর্ভুজৰ পৰা,
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =360° [চতুর্ভুজৰ চাৰিওটা কোণৰ সমষ্টি 360°]
∠1 + 90° + ∠3 + 90° = 360° [(ⅰ) আৰু (ii)ৰ পৰা)
∠1 + ∠3 = 360° – 180° = 180° প্রমাণ কৰা হ’ল।
11. প্রমাণ কৰা যে এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰা সামান্তৰিকটো এটা ৰম্বাচ।
উত্তৰঃ দিয়া আছে ABCD এটা সামান্তৰিক।
প্রমাণ কৰিব লাগে যে, ABCD এটা ৰম্বাচ।
প্রমাণ: AB = CD আৰু AD = BC ……..(i)
| AP = AS PB = BQ [বৃত্ত বহিঃবিন্দুৰ পৰা টনা স্পর্শক দুডালৰ দূৰত্ব সমান।]CR = CQ DR = DS} |
এই স্পর্শকবোৰ যোগ কৰি, (AP + PB) + (CR + DR) = AS + BQ + CQ + DS
AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ)
AB + CD = AD + BC (ⅰ) ৰ পৰা]
2AB = 2BC
AB = BC ………. (ii)
(i) আৰু (ii) ৰ পৰা AB = BC = CD = DA
∴ সামান্তৰিক ABCD এটা ৰম্বাচ।
12. 4চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰাকৈ ABC এটা ত্রিভুজ আঁকা হ’ল যাতে স্পর্শবিন্দু Dৰ দ্বাৰা বিভক্ত BC ৰ খণ্ড BD অ DC ৰ দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 চে.মি. আৰু 6 চে.মি. (চিত্র 10.14 চোৱা)। AB আৰু AC বাহুৰ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল AE = x ∴ AF = x
BC = 8 + 6 = 14 cm
AB = (x + 8) cm
AC = (x + 6) cm
∠1 = ∠2 = ∠3 = 90° [∵ বৃত্তৰ ব্যাসার্ধ স্পৰ্শকৰ ওপৰত লম্ব।]
⇒ 3x(x + 14) – (x + 14)² = 0
⇒ (x + 14) [3x – (x + 14)] = 0
⇒ (x + 14) (2x – 14) = 0
⇒ x = – 14, x = 7
যিহেতু বাহু ঋণাত্মক নহয় গতিকে, AB = x + 8 = 15cm
AC = x + 6 = 13cm
13. প্রমাণ কৰা যে এটা বৃত্তক স্পর্শ চতুর্ভুজৰ বিপৰীত বাহুবোৰে বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰত সম্মুখকৈ সম্পূৰক কোণ কৰে।
উত্তৰঃ
∠1 + ∠2 + ∠2 + ∠5 + ∠5 + ∠6 + ∠6 + ∠1 = 360° [সম্পূর্ণ কোণ]
2∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6) = 360°
⇒ ∠BOC + ∠AOD = 180° … (i) I ত প্রমাণিত ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOA = 360° [সম্পূর্ণ কোণ।]
∠AOB + ∠COD+ 180° = 360° [(i) ৰ পৰা]
∠AOB + ∠COD = 360° – 180° = 180° প্রমাণ কৰা হ’ল।
