বাস্তৱ সংখ্যা
Welcome to the complete solutions of SEBA Class 10 Mathematics Chapter 1 – বাস্তৱ সংখ্যা . This chapter lays the foundation for higher mathematical concepts by exploring the properties and classifications of numbers we use in real life. In these solutions, we cover every exercise from the textbook in a step-by-step manner, making it easier for students to understand and master each concept. Whether you’re preparing for board exams or revising for a class test, these solutions will help you build a strong grasp of real numbers as per the latest SEBA syllabus.
| অনুশীলনী – 1.1 |
প্রশ্ন 1. ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.উ উলিওৱা-
(i) 135 আৰু 225
উত্তৰঃ ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰিঃ
সোপান – 1: ∴ 1225 > 135, আমি 225 আৰু 135 ৰ ওপৰত বিভাজন প্রমেয়িক প্রয়োগ কৰি পাওঁ-
225 = 135 x 1 + 90
সোপান – 1: ভাগশেষ 90 ≠ 0 আমি 35 আৰু 90 -ৰ ওপৰত বিভাজন প্রমেয়িক প্রয়োগ কৰি পাওঁ-
135 = 90 x 1 + 45
সোপান – 1: ভাগশেষ 45 ≠ 0, নতুন ভাজক 90 আৰু নতুন ভাগশেষ 45 বাচিবলৈ আৰু বিভাজন প্রমেয়িকা প্রয়োগ কৰি পাওঁ, ভাগশেষত 0 পোৱালৈ কে এই প্রণালীটো অব্যাহত ৰথা হ’ল। এই পর্যায়ত পোৱা তাজকটোৱে হ’ব নির্ণেয় গ.সা.উ।
90 = 45 x 2 + 0
∴ ভাগশেষ শূন্য পোৱা গ’ল, গতিকে আমাৰ প্রক্রিয়া বন্ধ কৰা হ’ল।
∴ 3 নং ধপাত ভাজক = 45,70 আৰু 45 -ৰ গ.সা.গু = 45
∴ 135 আৰু 225 -ৰ গ.সা.গু. = 45
(ii) 196 আৰু 38220
উত্তৰঃ সোপান – 1: 38220 > 196, আমি ল্যামমাৰ হৰণ প্রক্রিয়া দ্বাৰা 38220 ক 196 ৰে হৰণ কৰি পাওঁ।
38220 x 196 x 195 + 0
∴ ভাগশেষ শূনা পোৱা গ’ল, এই হৰণ প্রক্রিয়া বন্ধ কৰা হ’ল। যিহেতু, এই ধাপত ভাজক = 196, এতিয়া 38220 আৰু 196-ৰ গ.সা.উ. 196
∴ নির্ণেয় গ.সা.ট. = 196
∴ 135 আৰু 225-ৰ গ.সা.গু. = 45
(iii) 867 আৰু 255
উত্তৰঃ সোপান-1: ∴ 867 > 225 আমি ল্যামমাৰ হৰণ প্রক্রিয়া ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ-
867 = 225 x 3 + 102
সোপান – 2: যিহেতু, ভাগশেষ: 102, 0, আকৌ ল্যামমান হবণ প্রক্রিয়া ব্যৱহাৰ কৰি গাওঁ-
102 = 51 x 2 + 0
∴ ভাগশেষ পোৱা গ’ল অথবা এই প্রক্রিয়া বন্ধ কৰা হ’ল।
102 আৰু 51-ৰ গ.সা.উ = 51
∴ 867 আৰু 255-ৰ গ.সা.উ = 51
প্রশ্ন 2. দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাই 6q + 1 বা 6q + 3, বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য’ত q এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল a এটা যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা। এতিয়া ইউক্লিডৰ কলনবিধিৰ সহায়ত a ক b-ৰে হৰণ কৰি 6 পোৱা যায়।
∴ 0 < = r < 6, সম্ভৱপৰ অৱশিষ্টবোৰ হ’বঃ 0,1,2,3,4 আৰু 5 অৰ্থাৎ a‘ হ’ব পাৰে 6q অথবা, 6q + 1 অথবা, 6q + 2 অথবা, 6q + 3 অথবা 6q + 4, অথবা, 6q + 5 য’ত
‘q’ এটা অৱশিষ্ট। আকৌ, যিহেতু ‘a’ ”অযুগ্ম। অতএব ‘a’ মনবোৰ 6q, 6q + 2 আৰু 6q + 4 হ’ব নোৱাৰে।
যিহেতু গোটেইকেইটা 2-ৰে বিভাজ্য।
∴ 6q + 1 অথবা, 6q + 3 অথবা, 6q + 5 -এই ধৰণৰ সংখ্যাবোৰ অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা।
প্রশ্ন 3. 616 সদস্যৰ এটা সৈন্যবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম -খোজ কাঢ়ি কাঢ়ি যাবলগীয়া হ’ল। দুয়োটা দলেই একে সমান সংখ্যক স্থম্ভত কদম-খোজ কাঢ়িবলগীয়া হ’ল। তেওঁলোকে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্থম্ভৰ উচ্চতম সংখ্য্য কি হ’ব?
উত্তৰঃ এটা সৈন্যবাহিনীৰ মুঠ সদস্য = 616 আৰু 32। (দুটা দল আছে)।
যিহেতু, দল দুটা সমান সংখ্যক হস্তাকাৰে থিয় হৈ কদম খোজ কাঢ়িব লাগে। এতিয়া স্থম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা উলিয়াব লাগে।
এটা সৈন্যবাহিনীর দুই সমস্য= 616 আৰু 32। (দুটা হল আছে)।
যিহেতু, দল দুটা সমান সংখ্যক স্থম্ভকৰে থিয় হৈ কদম খোজ কাঢিব লাগে। এহিয়া ৭মৰ উচ্চতম সংখ্যা উলিয়াব লাগে।
∴ সর্বাধিক উচ্চতম সংখ্যক স্থম্ভ = 616 আৰু 32-ৰ গ.সা.গু.।
ঢাপ – 1: ∴ 616 > 32, এতিয়া বিভাজন প্ৰক্ৰিয়া দ্বাৰা 616 ক 32-ৰে হৰণ কৰি পাওঁ-
616 = 32 x 19 +8
ঢাপ – 2: ∴ 8 ≠ 0, এতিয়া, আকৌ বিভাজন প্ৰক্ৰিয়া ব্যৱহা কৰি পাওঁ-
32 = 8 x 4 + 0
যিহেতু, অৱশিষ্ট শূন্য পোৱা গ’ল এতিয়া এই সোপানত ভাজক = 8
∴ 616 আৰু 32-ৰ গ.সা.গু = 8
এতিয়া, উচ্চতম স্থম্ভৰ সংখ্যা হ’ল ৪, য’ত সৈন্যবাহিনী কদম খোজ কাঢ়িব পাৰে।
প্রশ্ন 4. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্রমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m + 1 আহিৰ, য’ত ৪ এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
[ইংগিতঃ ধৰা এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। তেন্তে ইয়াৰ আর্হি হ’ব 3q, 3q + 1 বা 3q + 2 এতিয়া ইহঁতৰ প্ৰতিটোকে বৰ্ণ কৰা আৰু দেখুওৱা যে সিহঁতক 3m বা 3m + 1 আর্হিত লিখিব পাৰি।]
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা = x। তেনে হ’লে 3q, 3q + 1
অথবা 3q + 2 যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হ’ব।
যদি x = 3q ধৰা হয়, তেনে হ’লে উভয়পক্ষক বর্গ কৰি পাওঁ-
(x)² = (3q)²
= 9q² = 3(3q²) = 3m, যত m = 3q² আৰু ‘m’ এটা অখণ্ড সংখ্যা।
সূত্রমতে, x² = 3m………….. (i)
যদি x = 3q + 1 হয়, তেনে হ’লে উভয়পক্ষক বর্গ কৰি পাওঁ-
x² = 3(3q + 1)²
⇒ x² = 9q² + 1 + 2 × 3q × 1
⇒ x² = 3(3q² + 2q) + 1
⇒ x² = 3m + 1 ………….. (2) য’ত m = 3q² + 2q,
আকৌ, m -এটা অখণ্ড সংখ্যা।
এতিয়া, (1) আক (2) -ৰ পৰা পাওঁ-
x² = 3m, 3m + 1
এতিয়া, যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বর্গ, 3m নাইবা, 3m + 1 আকাৰত হ’ব।
প্রশ্ন 5. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যি কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m + 1 নাইবা 9m + 8 আর্হি।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ডসংখ্যা আৰু b = 3।
∴ x = 3q + r, য’ত ভাগফল= 9 আৰু ভাগশেষ = r
∴ 0 < r < 3
যদি r = 0% , তেতিয়া x = 3q হ’ব।
যদি r = 1 হয়, তেতিয়া x = 3q + 1 হ’ব।
যদি r = 2 হয়, তেতিয়া x = 3q + 2 হ’ব।
∴ x = 3q
উভয়পক্ষক ঘন কৰি পাওঁ-
(x)³ (39)³
⇒ x³ = 27q³ = 9(3q³ = 9m, য’ত
m = 3q³, ই এটা অখণ্ড সংখ্যা।
x³ = 9m …..……… (1)
যদি x = 3q + 1,
উভয়পক্ষক ঘন কৰি পাওঁ-
(x)³ = (3q + 1)³
⇒ x³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9(3q³ + 9q² + q) + 1
= (9m + 1), য’ত m = 3q³ + 3q² + q আৰু ই এটা অখণ্ড সংখ্যা।
∴ x³ = 9m + 1…………… (2)
আকৌ, যদি x = 3q + 2,
উভয়পক্ষক ঘন কৰি পাওঁ-
(x)³ = (3q + 2)³
⇒ x = 27q³ + 54q² + 36q + 8
⇒ x³ = 9(3q³ + 4q) + 8
⇒ x³ = 9m + 8 য’ত
m = 3q³ + 6q² + 4q
∴ x³ = 9m + 8……………. (3)
∴ (1), (2) আৰু (৩) -ৰ পৰা আমি পাওঁ যে -যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফল 9m, 9m + 1 অথবা 9m + 8 আকাৰত থাকিব।
6. হিমাদ্ৰীয়ে 625 টা ভাৰতীয় আৰু 325 টা আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাক-টিকট সংগ্ৰহ কৰিলে। তাই এইবোৰ এক বিশেষ থূপত ৰাখি প্ৰদৰ্শন কৰিবলৈ বিচাৰে যাতে এটাও ডাক চিকট ৰৈ নাযায়। হিমাদ্ৰীয়ে সৰ্বাধিক কিমানটা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব?
উত্তৰঃ 625 আৰু 325 ৰ গঃসাঃউঃ হ’ব নিৰ্ণেয় থূপৰ সংখ্যা।
625 = 325 x 1 + 300
325 = 300 x 1 + 25
300 = 25 x 12 + 0
∴ নিৰ্ণেয় থূপৰ সংখ্যা = 25টা।
7. দুডাল ৰছীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে 64 ছে.মি. আৰু 80 ছে.মি। দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিয়াব লাগে। অকণো ৰৈ নোযোৱাকৈ দুয়োডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰাতেনে টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ 64 আৰু 80 ৰ গঃসাঃউঃ হব টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য।
80 = 64 x 1 + 16
64 = 16 x 4 + 0
∴ কাটি উলিয়াব পৰা ৰছীৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য = 16 ছে.মি.
| অনুশীলনীঃ 1.2 |
প্রশ্ন 1. প্ৰতিটো সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰাঃ
(i) 140
উত্তৰঃ 140 -ৰ মৌলিক উৎপাদকঃ (2)² (35) আৰু গুণফল = (2)² (5) (7)
(ii) 156
উত্তৰঃ 156 -ৰ মৌলিক উৎপাদকঃ (2)² (39) আৰু গুণফল = (2)² (3) (13)
(iii) 3825
উত্তৰঃ 3825 -ৰ মৌলিক উৎপাদকঃ (3)² (425) আৰু গুণফল = (3)² (5) (85) = (3)² (5)² (17)
(iv) 5005
উত্তৰঃ 5005 -ৰ মৌলিক উৎপাদকঃ (5) (1001) আৰু গুণফল = (5) (7) (143) = (5) (7) (11) (13)
(v) 7429
উত্তৰঃ 7429 -ৰ মৌলিক উৎপাদকঃ (17) (437) আৰু গুণফল (17) (19) (23)
প্রশ্ন 2. তলৰ অখণ্ড সংখ্যাকোইযোৰৰ ল.সা.গু. আৰু গ.সা.উ. উলিওৱা। সত্যাপন কৰা যে ল.সা.গু. x গ.সা.উ. = সংখ্যাদুটাৰ গুণফল।
(i) 26 আৰু 91
উত্তৰঃ 26 -ৰ মৌলিক উৎপাদকঃ (2) (13)
আৰু 91 -ৰ মৌলিক উৎপাদকঃ (7) (13)
∴ 26 আৰু 91 -ৰ গ.সা.উ. = 13
আৰু ল.সা.গু. = (2) (7) (13) = 182
সত্যাপন (Verification):
ল.সা.গু. (26, 91) × গ.সা.উ (26, 91)
= (13) × (182)
= (13) × (2) × (91)
= (26) × (91) = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।
(ii) 510 আৰু 92
উত্তৰঃ 510 -ৰ মৌলিক উৎপাদক: = (2) (255)
আৰু গুণফল = (2) (3) (85)
= (2) (3) (5) (17)
আৰু 92 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = (2) (46)
= (2)² (23)
∴ 510 আৰু 92 -ৰ গ.সা.উ. = 2
আৰু গ.সা.গু. = (2)² (3) (5) (17) (23) = 23460
সত্যাপন (Verification):
ল.সা.গু. × গ.সা.উ
= (2) x (23460)
= (2) × (2)²(3)(5) (17) (23)
= (2) (3) (5) (17) × (2)² (23)
510 × 92 = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।
(iii) 336 আৰু 54
উত্তৰঃ 336 -ৰ মৌলিক উৎপাদক: = (2) (168)
= (2) (2) (84)
=(2) (2) (2) (2) (21) = (2)⁴ (3) (7)
আৰু 54 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = (2) (27)
= (2) (3) (9)
= (2) (3) (3) (3) = (2) (3)³
∴ গ.সা.উ. = 2 × 3 = 6
আৰু ল.সা.গু. = (2)⁴ (3)³ (7)
= 3024
সত্যাপন (Verification):
ল.সা.গু. (336, 54) × গ.সা.উ (336, 54)
= 6 x 3024
= (2) (3) × (2)⁴ (3)³ (7)
= 336 × 54
= সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।
প্রশ্ন 3. মৌলিক উৎপাদকীকৰণৰ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ ল.সা.গু. আৰু ল.সা.উ. উলিওৱা।
(i) 12,15 আৰু 21
উত্তৰঃ 12,15 আৰু 21-ৰ মৌলিক উৎপাদক হ’লঃ
12 = (2) (6) = (2) (2) (3)
15 = (3) (5)
21 = (3) (7)
∴ গ.সা.উ. =3
আৰু ল.সা.গু. = (2)² (3) (5) (7) = 420
(ii) 17, 23 আৰু 29
উত্তৰঃ 17,23 আৰু 29 -ৰ মৌলিক উৎপাদক হ’লঃ
17 = (17) (1)
23 = (23) (1)
29 = (29) (1)
∴ গ.সা.উ. = 1
আৰু ল.সা.উ = 17 x 23 x 29 = 11339
(iii) 8, 9 আৰু 25
উত্তৰঃ 8, 9 আৰু 25 -ৰ মৌলিক উৎপাদক হ’লঃ
8 = (2) (4) = (2) (2) (2) = (2)³ (1)
9 = (3) (3) = (3)² (1)
25 = (5) (5) = (5)² (1)
∴ গ.সা.উ. = 1 আৰু ল.সা.গু. = (2)³ (3)² (5)² = 1800
প্রশ্ন 4. দিয়া আছে গ.সা.উ. (306, 657) = 9 ল.সা.গু. (306, 657) উলিওৱা।
উত্তৰঃ 306 আৰু 657 -ৰ মৌলিক উৎপাদক হ’লঃ
306 = (2) (153) = (2) (3) (51)
= (2) (3) (3) (17)
=(2) (3)² (17)
∴ 657 = (3) (219) = (3) (3) (73) = (3)² (73)
∴ গ.সা.উ. = (3)² = 9
∴ গ.সা.উ × গ.সা.গু. = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল।
⇒ 9× … = 306 × 657
প্রশ্ন 5. পৰীক্ষা কৰা, কোনোবা স্বাভাৱিক সংখ্যা n অৰ ক্ষেত্ৰত 6n সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ’ব পাৰেনে নাই।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল 6ⁿ শূন্যৰে শেষ হয়, য’ত n ∈ N
∴ 6ⁿ সংখ্যাটো ৫ দ্বাৰা সম্পূৰ্ণৰূপে বিভাজ্য হ’ব।
কিন্তু, 6 -ৰ মৌলিক উৎপাদক 2 আৰু 3
∴ 6ⁿ -ৰ উৎপাদক হ’ব (2 × 3)ⁿ। ইয়াৰ পৰা কোৱা যায় যে 6ⁿ -ৰ উৎপাদক 5 নহয়।
∴ পাটীগণিতৰ প্ৰাথমিক উপপাদ্যৰ পৰা ক’ব পাঁৰো যে প্ৰতিটো যৌগিক সংখ্যাক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা যায় আৰু এই উৎপাদক বিশ্লেষণ হ’ল অদ্বিতীয়। গতিকে আমাৰ কল্পনা বা অনুমান কৰাটো ভুল। এতেকে কোন মৌলিক সংখ্যা পোৱা নেযায়, য’ত 6ⁿ -ত শেষ পদটো শূন্য হ’ব।
প্রশ্ন 6. 7 × 11 × 13 + 13 আৰু 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 সংখ্যা দুটা কিয় যৌগিক, সংখ্যা, ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল 7 × 11 × 13 + 13 = 13[7 × 11 + 1], ই মৌলিক সংখ্যা নহয় কাৰণ
ইয়াৰ এটা উৎপাদক 13
এতেকে, ই এটা যৌগিক সংখ্যা।
আকৌ, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5[7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1], ই মৌলিক সংখ্যা নহয়, কাৰণ ইয়াৰ এটা উৎপাদক হ’ল 5 এতেকে, ই এটা যৌগিক সংখ্যা।
প্রশ্ন 7. এখন খেল পথাৰৰ চাৰিওপিনে এটা বৃত্তাকাৰ পথ। খেল পথাৰখন গাড়ীৰে এবাৰ ঘূৰিবলৈ ছোনিয়াৰ 18 মিনিট লাগে, য’ত একেটা ঘূৰণতে ৰবিৰ লাগে 12 মিনিট। ধৰা তেওঁলোকে একেটা বিন্দুতে একে সময়তে আৰু একেটা দিশত যাত্ৰা আৰম্ভ কৰে। কিমান মিনিট পিছত তেওঁলোকে আকৌ আৰম্ভণি বিন্দুটোত লগ লাগিব?
উত্তৰঃ এটা বৃত্তকাৰ পথ একপাক ঘূৰোতে ছোনিয়াৰ সময় লাগে 18 মিনিট আৰু ৰবিৰ ঘূৰোতে সময় লাগে 12 মিনিট। সিহঁতে আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত (Starting point) লগ লাগিব = 18 আৰু 12 -ৰ ল.সা.গু.।
এতিয়া, 18 আৰু 12 -ৰ মৌলিক উৎপাদক হ’লঃ
18 = (2) (9) = (2) (3) (3) = (2) (3)²
আৰু 12 = (2) (6) = (2) (2) (3) = (2)² (3)
∴ ল.সা.গু. (18,12) = (2)² (3)² = 4 × 9 = 36
∴ 36 মিনিট পিছত, সিহঁতে আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিব।
| অনুশীলনীঃ 1.3 |
প্রশ্ন 1. দেখুওৱা যে √5 অপৰিমেয়।
উত্তৰঃ বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ’ল, √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা যাতে
√5=p/q, (p, q ∈ z, q ≠ 0) …………….. (i)
আৰু 1 -ৰ বাহিৰে p আৰু q -ৰ কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাই।
∴ p² = 5q² ……………(ii) [(i) ক বৰ্গ কৰি]
কিন্তু 5q² এটা অযুগ্ম সংখ্যা।
∴ p² এটা অযুগ্ম সংখ্যা।
⇒ p এটা অযুগ্ম সংখ্যা।
⇒ p = 5m[m ∈ z]
⇒ p² = 25m²
⇒ 5q² = 25m² ⇒ q² = 5m² ⇒ q² অযুগ্ম ⇒ q অযুগ্ম।
∴ p, q উভয়ে অযুগ্ম, আৰু p, q -ৰ সাধাৰণ উৎপাদক 5। কিন্তু এইটো অসম্ভৱ, যিহেতু ধৰা হৈছিল p আৰু q -ৰ 1-ৰ বাহিৰে আন সাধাৰণ উৎপাদক নাই।
∴ √5 পৰিমেয় হ’ব নোৱাৰে।
∴ √5 অপৰিমেয় [ প্ৰমাণিত ]।
প্রশ্ন 2. দেখুওৱা যে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।
উত্তৰঃ বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ’ল, প্রদত্ত সংখ্যাটো পৰিমেয়।
∴ 3 + 2√2 = p/q য’ত p, q, ∈ z আৰু q ≠ 0
⇒ 3 – p/q = 2√5 ⇒ 3q-p/q = -2√5
∴ -2√5 পৰিমেয় সংখ্যা, যিটো অসম্ভৱ।
∴ 3 + 2√5 অপৰিমেয় সংখ্যা [ প্রমাণিত ]।
প্রশ্ন 3. দেখুওৱা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অপৰিমেয়ঃ
(i) 1/√2
উত্তৰঃ বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ’ল, প্রদত্ত সংখ্যাটো পৰিমেয়।
∴ 1/√2 = p/q য’ত p,q, ∈ z আৰু q ≠ 0
⇒ q = √2p
p দ্বাৰা উভয়পক্ষক হৰণ কৰি পাওঁ-
q/p = √2 (p ≠ 0)
অর্থাৎ √2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা, যিটো অসম্ভৱ।
∴ 1√2 অপৰিমেয় সংখ্যা [ প্রমাণিত ]।
(ii) 7√5
উত্তৰঃ বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ’ল, প্রদত্ত সংখ্যাটো পৰিমেয়।
∴ 7√5 = p/q য’ত p, q, ∈ z আৰু q ≠ 0
⇒ √5 = p/q
অৰ্থাৎ 7√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা, যিটো অসম্ভৱ।
∴ 7√5 অপৰিমেয় সংখ্যা [ প্রমাণিত ]।
(iii) 6 + √2
উত্তৰঃ বিৰুদ্ধভাৱে ধৰা হ’ল, প্রদত্ত সংখ্যাটো পৰিমেয়।
∴ 6 + √2 = p/q য’ত p, q, ∈ z আৰু q ≠ 0
⇒ √2 = p/q – 6 = 6 = p-6q/q
অর্থাৎ √2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা, যিটো অসম্ভৱ।
∴ 6 + √2 অপৰিমেয় সংখ্যা [ প্রমাণিত ]।
| অনুশীলনীঃ 1.4 |
প্রশ্ন 1. দীৰ্ঘ হৰণ নকৰাকৈ তলত উল্লেখ কৰা পৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ কোনবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্তি (সাবধি) নাইবা কোনবোৰৰ নিৰবধি পৌনঃপুনিক দশমিক বিস্তৃতি থাকিব বৰ্ণনা কৰাঃ
(i) 13/3125
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, x = 12/3125 ক p/q ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ
ইয়াত, p = 13 আৰু q = 3125
∴ 3125 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = 5 × 5 × 5 × 5 × 5
= 5² × 2⁰ ই 2ⁿ × 5ᵐ
আকাৰত আছে, য’ত n = 0 আৰু m = 5। যিটো এটা অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
∴ 13/3125, ই এটা সীমিত দশমিক। অৰ্থাৎ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
(ii) 17/8
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 17/8 = p/q য’ত p, q ∈ z আৰু q ≠ 0 লগত তুলনা কৰি পাওঁ
ইয়াত, p = 17 আৰু q = 8
∴ ৪ -ৰ মৌলিক উৎপাদক = 2 × 2 × 2 = 2³ = 2³ × 5⁰, ই 2ⁿ × 5ᵐ
আকাৰত আছে, য’ত n = 3 আৰু m = 0। যিটো এটা অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
∴ 17/8, ই এটা সীমিত দশমিক। অর্থাত্ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
(iii) 64/455
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 64/455 = p/q য’ত p, q ∈ z আৰু q ≠ 0
ইয়াত, p = 64 আৰু q = 455
∴ 455 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = 5 × 7 × 13 ই 2ⁿ × 5ᵐ আকাৰত নাই।
∴ 64/455′ ই এটা সীমিত আৰু অপৌনঃপুনিক(পৌণঃপুনিক নহয়)।
অর্থাৎ ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
(iv) 15/1600
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 15/1600 = p/q য’ত p, q ∈ z আৰু q ≠ 0
ইয়াত, p = 15 আৰু q = 1600
∴ 1600 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 26 × 52, ই 2n × 5m
আকাৰত আছে, য’ত n = 6,m = 2 ই এটা অঋণাত্মক সংখ্যা।
15/1600′ এটা সীমিত দশমিক। অর্থাৎ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
(v) 29/343
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 29/343 p/q = য’ত p,q ∈ z আৰু q ≠ 0
ইয়াত, p = 15 আৰু q = 343
∴ 343 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = 7 × 7 × 7 = 7³ × 2⁰, ই 2ⁿ × 5ᵐ
আকাৰত আছে, য’ত n = 0, m = 3 ই এটা অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
∴ 29/343, এটা সীমিত দশমিক । অর্থাৎ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
(vi) 23/2³.5²
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 23/2³.5² = p/q য’ত p, q ∈ z আৰু q ≠ 0
ইয়াত, 2³.5², 2ⁿ × 5ᵐ আকাৰত আছে, য’ত n = 3, m = 2 আৰু ই অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
∴ 23/2³.5² এটা সীমিত দশমিক। অর্থাৎ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
(vii) 129/2².5⁵.7⁵
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 129/2².5⁵.7⁵ = p/q য’ত p, q ∈ z আৰু q ≠ 0
ইয়াত, 2⁵,5⁷,7⁵, 2ⁿ × 5ᵐ আকাৰত নাই, অর্থাৎ 129/2⁵.5⁷.7⁵ আৰু অপৌনঃপুনিক। অর্থাৎ ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
(viii) 6/15
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 16/15 = য’ত p, q ∈ z আৰু q ≠ 0
∴ 5 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = 5 = 2⁰ × 5¹, ই 2ⁿ × 5ᵐ আকাৰত আছে, য’ত n = 0, m = 1 ই এটা অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
∴ 6/15, এটা সীমিত দশমিক। অর্থাৎ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
(ix) 35/50
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 35/50 = 7/10 = p/q য’ত p, q ∈ z আৰু q ≠ 0। ইয়াত p = 7, q = 10
∴ 10 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = 10 = 2 × 5 = 2¹ × 5¹, ই 2ⁿ × 5ᵐ আকাৰত আছে, য’ত n = 1, m = 1 আৰু সিহঁত অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
∴ 35/50, এটা সীমিত দশমিক। অর্থাৎ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
(x) 77/210
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 77/210 = 11/30 = p/q য’ত p, q ∈ z আৰু q ≠ 0।
ইয়াত, p = 11, q = 30
∴ 30 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = 30 = 2 × 3 × 5, ই 2ⁿ × 5ᵐ আকাৰত নাই।
∴ 77/210, এটা সীমিত দশমিক। অর্থাৎ ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
প্রশ্ন 2. ওপৰৰ প্ৰশ্ন -1 অত যিবোৰ পৰিমেয় সংখ্যাৰ পৰিসমাপ্ত দশমিক বিস্তৃতি আছে সেইবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতিবোৰ লিখি দেখুওৱা। পৰিসমাপ্তি দশমিক বিস্তৃতি সম্পন্ন পৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ বিস্তৃতি দেখুওৱা হ’ল।
উত্তৰঃ (i) ধৰা হ’ল, 13/3125 = p/q, q ∈ z, q ≠ 0।
ইয়াত, p = 13, q = 3125
∴ 3125 -ৰ মৌলিক উৎপাদক = 5 × 5 × 5 × 5 × 5⁵ = 5⁰ × 2⁰ ই 2ⁿ x 5ᵐ
আকাৰত আছে, য’ত n = 0 আৰু m = 5, সিহঁত অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
∴ 13/3125 এটা সীমিত দশমিক। অর্থাৎ ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
2. দশমিক ভগ্নাংশত পৰিবৰ্তনঃ
উত্তৰঃ (i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
প্রশ্ন 3. তলৰ বাস্হৱ সংখ্যাবোৰৰ ইয়াত দেখুওৱা ধৰণে দশমিক বিস্তৃতি আছে। প্ৰতিটোৰ ক্ষেত্ৰত ই এটা পৰিমেয় হয় নে নহয় সিদ্ধান্ত কৰা। যদি ই পৰিমেয় আৰু ই p/q আৰ্হিৰ, তেন্তে ইয়াৰ q ৰ মৌলিক উৎপাদনকীকৰণ বিষয়ে কি ক’ব পাৰিবা?
(i) 43. 123456789
উত্তৰঃ 43. 123456789, ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।
∴ 43. 123456789
ইয়াত, p = 43123456789, q = 10⁹
এতিয়া, -ৰ মৌলিক উৎপাদক = (2 × 5)⁹ = 2⁹ × 5⁹
(ii) 0.120120012000120000……
উত্তৰঃ 0.120120012000120000
ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
উত্তৰঃ
ইয়াত, p = 4791495194
q = 111 111 111
∴ 9-ৰ মৌলিক উৎপাদক হ’লঃ 3² (12345679)
| MCQ |
1. এটা ঘন্টা 18 ছেকেণ্ড আৰু আন এটা ঘন্টা 60 ছেকেণ্ডৰ অন্তৰালত বাজে। কোনো এক সময়ত দুয়োটা ঘন্টা একেলগে বাজিলে, তেন্তে তাৰ কিমান ছেকেণ্ড পাছত ঘন্টা দুটা পুনৰ একেলগে বাজিব?
(a) 30 ছেকেণ্ড।
(c) 90 ছেকেণ্ড।
(b) 60 ছেকেণ্ড।
(d) 180 ছেকেণ্ড।
উত্তৰঃ (d) 180 ছেকেণ্ড।
2. পৰিমেয় সংখ্যা 14588/625 ৰ দশমিক প্ৰসাৰণ তলৰ কোনটো দশমিক স্থানৰ পিছত শেষ হব?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
উত্তৰঃ (c) 4
3. ইউক্লিডৰ বিভাজন a আৰু b দুটা যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা দিয়া থাকিলে q আৰু r এনে দুটা পূর্ণ সংখ্যা বিচাৰি পোৱা যাব যাতে a = bq + r, য’ত r য়ে সিদ্ধ কৰিব–
(a) 1 < r < b
(b) 0 < r < b
(c) 0 < r < b
(d) 0 < r < b
উত্তৰঃ (c) 0 < r < b
4. 600 আৰু 1500 ৰ গ. সা. উ.–
(a) 100
(b) 250
(c) 300
(d) 500
উত্তৰঃ (c) 300
5. 135 আৰু 225 ৰ গ. সা. উ. হ’ল–
(a) 30375
(b) 945
(c) 45
(d) 15
উত্তৰঃ (c) 45
6. তলৰ কোনটো নিৰবধি পৌনঃপুনিক দশমিক?
(a) 3/8
(b) 7/80
(c) 64/455
(d) 124/625
উত্তৰঃ (c) 64/455
7. 21/45 ৰ দশমিক বিস্তাৰ–
(a) পৰিসমাপ্ত বা সাবধি।
(b) নিৰবধি পৌনঃপুনিক।
(c) পৰিসমাপ্ত বা সাবধি আৰু নিৰবধি পৌনঃপুনিক।
(d) এইবোৰৰ এটাও নহয়।
উত্তৰঃ (b) নিৰবধি পৌনঃপুনিক।
8. যদি p/q পৰিসমাপ্ত বা সাবধি তেনেহ’লে q ৰ বিষয়ে আমি ক’ব পাৰো–
(a) q নিশ্চয় 2ⁿ আৰ্হিৰ।
(b) q নিশ্চয় 5ᵐ আৰ্হিৰ।
(c) q নিশ্চয় 2ⁿ 5ᵐ আৰ্হিৰ।
(d) নিশ্চয় 2ⁿ 5ᵐ, য’ত n আৰু m অবিয়োগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তৰঃ (d) নিশ্চয় 2ⁿ 5ᵐ, য’ত n আৰু m অবিয়োগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা।
9. 4,9 আৰু 10 ৰে হৰণ কৰিব পৰা আটাইতকৈ সৰু পূৰ্ণবৰ্গ সংখ্যাটো–
(a) 360
(b) 3600
(c) 180
(d) এটাও নহয়।
উত্তৰঃ (b) 3600
10. 55 আৰু 22 গ. সা. উ. 55m – 22 × 2 আর্হিত প্ৰকাশ কৰিলে m ৰ মান–
(a) 1
(b) -1
(c) 2
(d) -2
উত্তৰঃ (a) 1
11. এটা ৰম্বাচৰ কৰ্ণৰ দৈর্ঘ্য 24 ছে.মি. আৰু 32 ছে.মি.। ৰম্বাচটোৰ পৰিসীমা–
(a) 9 cm
(b) 128 cm
(c) 80 cm
(d) 56 cm
উত্তৰঃ (c) 80 cm
12. যদি ল.সা.গু (91, 26) = 182, তেতিয়া গ.সা.উ (91, 26) =
(a) 13
(b) 26
(c) 7
(d) 9
উত্তৰঃ (a) 13
13. তলৰ কোনযোৰ পৰস্পৰ মৌলিক?
(a) (14, 35)
(b) (18, 25)
(c) (31, 93)
(d) (32, 62)
উত্তৰঃ (b) (18, 25)
14. তলৰ পৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ কোনটো পৰিসমাপ্ত বা সাৱধি?
(a) 124/165
(b) 131/30
(c) 2027/625
(d) 1625/462
উত্তৰঃ (c) 2027/625
15. এটা সংখ্যাক 143 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ 31 থাকে। সেই একে সংখ্যাকে 13 ৰে হৰণ কৰিলে ভাগশেষ কিমান ৰ’ব?
(a) 0
(b) 1
(c) 3
(d) 5
উত্তৰঃ (d) 5
16. 1152 আৰু 1664 ক সম্পূর্ণৰূপে বিভাজ্য হোৱা ডাঙৰ সংখ্যাটো–
(a) 32
(b) 64
(c) 128
(d) 256
উত্তৰঃ (c) 128
17. যদি (26, 169) ৰ গ.সা.উ. 13, তেতিয়া (26, 169) ৰ ল.সা.গু.–
(a) 26
(b) 52
(c) 338
(d) 13
উত্তৰঃ (c) 338
18. যদি দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা m আৰু n ক m = pq³ আৰু n = p³ q², য’ত P, q মৌলিক সংখ্যা, তেতিয়া (m, n) ৰ গ.সা.উ.–
(a) pq
(b) pq²
(c) p³q³
(d) p²q³
উত্তৰঃ (b) pq²
19. 43/(2⁴ × 5³)পৰিমেয় সংখ্যাটিৰ দশমিক প্ৰসাৰণৰ দশমিক স্থানৰ পৰিসমাপ্তি হোৱা স্থানৰ সংখ্যা হ’ল–
(a) 3
(b) 4
(c) 1
(d) 5
উত্তৰঃ (b) 4
20. 7 × 11 × 13 + 13 এটা–
(a) মৌলিক সংখ্যা।
(b) যৌগিক সংখ্যা।
(c) অযুগ্ম সংখ্যা কিন্তু যৌগিক নহয়।
(d) এইবোৰৰ এটাও নহয়।
উত্তৰঃ (b) যৌগিক সংখ্যা।
