SEBA দশম শ্ৰেণীৰ গণিত – অধ্যায় ২: বহুপদ (Polynomials) হৈছে এটা অতি গুৰুত্বপূর্ণ অধ্যায়, যি তোমাক গণিতৰ আগন্তুক অধ্যায়বোৰ বুজিবলৈ মজবুত ভিত্তি প্ৰদান কৰে। এই অধ্যায়ত বহুপদৰ সংজ্ঞা, প্ৰকাৰ, গুণনীয়ক, ভাগ, শূন্যস্থানৰ উপপাদ্য (Remainder Theorem), আৰু কাৰকীকৰণৰ নিয়মসমূহ বুজোৱা হৈছে। ইয়াত তুমি পোৱাৰ সকলো প্ৰশ্নৰ step-by-step solutions, যি SEBAৰ পাঠ্যক্ৰম অনুসৰি সাজি দিয়া হৈছে। পৰীক্ষাৰ দৃষ্টিৰে গুৰুত্বপূৰ্ণ এই সমাধানবোৰে তোমাৰ আত্মবিশ্বাস বৃদ্ধি কৰিব আৰু উত্তীৰ্ণতালৈ সহায় কৰিব।
| অনুশীলনী – 2.1 |
প্রশ্ন 1. কিছুমান বহুপদ p(x) অৰ ক্ষেত্ৰত y = p(x) ৰ লেখবোৰ তলৰ চিত্ৰ 2.10 ত দিয়া আছে। প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা উলিওৱা। (লেখচিত্ৰবোৰ পাঠ্যপুথিত চোৱা)।
(i)
উত্তৰঃ চিত্ৰত y = p(x) -ৰ লেখচিত্ৰ দিয়া আছে। এই চিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, ই x অক্ষক ছেদ কৰা নাই৷ সুতাং y = p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা নাই।
(ii)
উত্তৰঃ লেখচিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, ই x অক্ষক এটা বিন্দুত ছেদ কৰিছে । সুত ৰাং y = p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা = 11
(iii)
উত্তৰঃ লেখচিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, ই x অক্ষক তিনিটা বিন্দুত ছেদ কৰিছে। সুত ৰাং y = p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা = 31
(iv)
উত্তৰঃ লেখচিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, ই x অক্ষক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰিছে। সুত ৰাং y = p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা = 2
(v)
উত্তৰঃ লেখচিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, ই x অক্ষক চাৰিটা বিন্দুত ছেদ কৰিছে। সুত ৰাং y = p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা = 11
(vi)
উত্তৰঃ লেখচিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, ই x অক্ষক তিনিটা বিন্দুত ছেদ কৰিছে। সুত ৰাং y = p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা = 31
| অনুশীলনীঃ 2.2 |
প্রশ্ন 1. তলৰ দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ শূন্য উলিওৱা আৰু এই শূন্যবোৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজত সম্পর্ক সত্যাপন কৰা।
(i) x² – 2x – 8
উত্তৰঃ প্রদত্ত দ্বি-ঘাত বহুপদ ৰাশিঃ x² – 2x – 8
(ইয়াত, s = −2, p = –8)
= x² – 4x + 2x – 8
= x(x – 4 ) + 2 (x – 4)
= (x – 4) (x + 2)
∴ x² – 2x – 8 -ৰ মান শূন্য হ’ব যদি x – 4 = 0 আৰু x + 2 = 0
∴ x² – 2x – 8 -ৰ শূন্যবোৰ হ’বঃ 4 আৰু – 2.
এতিয়া, শূন্যবোৰৰ যোগফল = (-2) + (4) = 2
∴ শূন্যবোৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজত থকা সম্পৰ্ক সত্যতা নিৰ্ধাৰণ কৰা হ’ল।
(ii) 4s² – 4s + 1
উত্তৰঃ প্রদত্ত দ্বি-ঘাত বহুপদ ৰাশিঃ 4s² – 4s + 1
∴ 4s² – 4s + 1
= 4s² – 2s – 2s + 1
= 2s(2s – 1) – 1(2s – 1) s = – 4
= (2s – 1) (2s – 1) p = 4 × 1 = 4
4s² – 4s + 1 বহুপদ ৰাশি শূন্য হ’ব যদি 2s – 1 = 0 আৰু 2s – 1 = 0
∴ 4s² – 4s + 1 -ৰ শূন্যবোৰ হ’ব: ½, ½
এতিয়া, শূন্যবোৰৰ সমষ্টি = ½ + ½ = 1
∴ শূন্যবেৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজত থকা সম্পৰ্কৰ সত্যতা নিৰ্ধাৰণ কৰা হ’ল।
(iii) 6x² – 3 – 7x
উত্তৰঃ প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিঃ 6x² – 3 – 7x
∴ 6x² – 7x – 3 s = -7
= 3x(2x – 3) + 1(2x – 3) p = 6x(-3) = -18
= (3x + 1) (2x – 3)
∴ 6x² – 7x – 3 -ৰ মান শূন্য হ’ব, যদি 3x + 1 = 0 আৰু 2x – 3 = 0 হয়।
∴ 6x² – 7x – 3 -ৰ শূন্যবোৰ হ’ব -1/3 আৰু 3/2
∴ শূন্যবেৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজত থকা সম্পৰ্কৰ সত্যতা নিৰ্ধাৰণ কৰা হ’ল।
(iv) 4u² + 8u
উত্তৰঃ প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিঃ 4u² + 8u
= 4u(u + 2)
∴ 4u² + 8u বহুপদ ৰাশিৰ মান শূন্য হ’ব যদি 4u = 0 আৰু u + 2 = 0 হয়।
∴ 4u² + 8u -ৰ শূন্যবোৰ হ’ব। 0 আৰু – 2
এতিয়া, শূন্য দুটাৰ যোগফল = 0 + (-2)
∴ শূন্যবেৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজত থকা সম্পৰ্কৰ সত্যতা নিৰ্ধাৰণ কৰা হ’ল।
(v) t² – 15
উত্তৰঃ প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিঃ t² – 15
= t² – (√15)²
= (t + √15) (t – √15)
∴ t² – 15 বহুপদ ৰাশিৰ মান শূন্য হ’ব যদি t + √15 = 0 আৰু t – √15 = 0
∴ t² – 15 বহুপাদ ৰাশিৰ শূন্যবোৰ হ’বঃ t = √15 আৰু t = -√15
এতিয়া, শূন্য দুটাৰ যোগফল = √15 + √15
∴ শূন্যবেৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজত থকা সম্পৰ্কৰ সত্যতা নিৰ্ধাৰণ কৰা হ’ল।
(vi) 3x² – x – 4
উত্তৰঃ প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিঃ 3x² – x – 4
= 3x² + 3x – 4x – 4 s =-1
= 3x(x + 1) – 4(x + 1) p = 3x – 4
= (x + 1) (3x – 4) = -12
∴ 3x² – x – 4 -ৰ শূন্যবোৰ হ’বঃ -1 আৰু 4/3
∴ শূন্যবেৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজত থকা সম্পৰ্কৰ সত্যতা নিৰ্ধাৰণ কৰা হ’ল।
প্রশ্ন 2. তলৰ যোৰকেইটাৰ সংখ্যা দুটাক ক্ৰমে শূন্যবোৰৰ সমষ্টি আৰু গুণফল হিচাপে ধৰি প্ৰত্যেকৰ ক্ষেত্ৰত একোটা দ্বিঘাত বহুপদ নিৰ্ণয় কৰা।
(i) 1/4 , -1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল দ্বিঘাত বহুপদঃ ax² + bx + c, যাৰ শূন্য দুটা হ’ল a আৰু β
∴ a + β = 1/4 ab = -1
এতিয়া, ax² + bx + c
= k (x – a) (x – b) (k-এটা ধ্রুবক)
= k {x² – (a + b)x + ab}
∴ k -ৰ বিভিন্ন মানৰ বাবে, আমি ভিন্ন ভিন্ন বহুপদ ৰাশি পাম।
(ii) √2, ⅓
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশিঃ ax² + bx + c, আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা হ’ল a আৰু β।
∴ a + β = শূন্য দুটাৰ যোগফল = √2
আৰু a + β = শূন্য দুটাৰ যোগফল = 1/3
এতিয়া, ax² + bx + c = k(x – a) (x – β), যত k এটা ধ্ৰুৱক।
∴ k -ৰ বিভিন্ন মানৰ বাবে, আমি ভিন্ন ভিন্ন বহুপদ ৰাশি পাম।
(iii) 0, √2
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশি: ax² + bx + c, আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা হ’ল a আৰু β।
∴ a + β = শূন্য দুটাৰ যোগফল = 0
এতিয়া, ax² + bx + c = k(x – a) (x – β),
= k[x² – 0x + √5] = k[x² + √5]
∴ k -ৰ বিভিন্ন মানৰ বাবে, আমি ভিন্ন ভিন্ন বহুপদ ৰাশি আমি পাওঁ।
(iv) 1,1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল দ্বি-ঘাত বহুপদ ৰাশিঃ ax² + bx + c, আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা হ’ল a আৰু β।
∴ a + β = 1, ab = 1
এতিয়া, ax² + bx + c = k (x – a) (x – β), যত k এটা ধ্রুৱক।
= k[x² – (a + b)x + aβ]
= k [x² – 1x + 1] = k[x² – x + 1]
∴ k -ৰ বিভিন্ন মানৰ বাবে, আমি ভিন্ন ভিন্ন বহুপদ ৰাশি পোৱা যায়।
(v) -1/4, 1/4
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশিঃ ax² + bx + c, আৰু ইয়াৰ শূন্য দুটা হ’ল a আৰু β।
∴ k -ৰ বিভিন্ন মানৰ বাবে, আমি ভিন্ন ভিন্ন বহুপদ ৰাশি পোৱা যায়।
(vi) 4,1
উত্তৰঃ a + b = 4, aβ = 1;
এতিয়া, ax² + bx + c = k (x – a) (x – β), যত k -এটা ধ্রুবক।
= k [x² – (a + b)x + ab]
= k [x² – 4x + 1]
∴ k -ৰ বিভিন্ন মানৰ বাবে, আমি ভিন্ন ভিন্ন বহুপদ ৰাশি পোৱা যায়।
3. দ্বিঘাত বহুপদবোৰ নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শূন্যকেইটা তলত দিয়া ধৰণৰঃ
(i) – 4 আৰু 3/2
উত্তৰঃ মূল দুটাৰ যোগফলঃ
(-b/a) = -4 + 3/2
⇒ – b/a = -5/2
আৰু মূল দুটাৰ গুণফলঃ
c/a = (-4) x 3/2
= -6
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছেঃ
= x2 – (b/a)x + c/a
= x2 – (-5/2)x + (-6)
= 2x2 + 5x – 12
(ii) 5 আৰু 2
উত্তৰঃ মূল দুটাৰ যোগফলঃ
(-b/a) = 5 + 2
= 7
আৰু মূল দুটাৰ গুণফলঃ
c/a = 5 x 2
= 10
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছেঃ
= x2 – (b/a)x + c/a
= x2 – 7x + 10
(iii) 1/3 আৰু – 1
উত্তৰঃ মূল দুটাৰ যোগফলঃ
(-b/a) = 1/3 – 1
= -2/3
আৰু মূল দুটাৰ গুণফলঃ
c/a = 1/3 x (-1)
= -⅓
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছেঃ
= x2 – (b/a)x + c/a
= x2 – (-2/3)x – ⅓
= 3x2 + 2x – 1
(iv) 3/2 আৰু – 2
উত্তৰঃ মূল দুটাৰ যোগফলঃ
(-b/a) = 3/2 – 2
= -1/2
আৰু মূল দুটাৰ গুণফলঃ
c/a = 3/2 x (-2)
= -3
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছেঃ
= x2 – (b/a)x + c/a
= x2 – (-1/2)x – 3
= 2x2 + 2x – 6
| অনুশীলনী – 2.3 |
প্রশ্ন 1. p(x) বহুপদটোক g(x) বহুপদটোৰে হৰণ কৰা আৰু প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত ভাগফল আৰু ভাগশেষ নির্ণয় কৰা।
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3, g(x) = x² – 2
উত্তৰঃ দিয়া আছে, p(x) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3 আৰু g(x) = x² – 2
∴ x³ – 3x² + 5x – 3
= (x – 3) (x² – 2) + (7x – 9)
∴ ভাগশেষ = x – 3 আৰু ভাগশেষ = 7x – 9
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
উত্তৰঃ দিয়া আছে p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5
= x⁴ + 0.x² – 3x² + 4x + 5
আৰু g(x) = x² + 1 – x
= x² – x + 1
∴ 4x² – 3x² + 4x + 5
= (x² + x – 3) (x² – x + 1) + 8
∴ ভাগফল x² + x – 3 আৰু ভাগশেষ = 8
(iii) p(x) = x⁴ – 5x + 6 g(x) = 2 – x²
উত্তৰঃ দিয়া আছে, p(x) = x⁴ − 5x + 6
= x⁴ + 0.x³ + 0.x² – 5x + 6
আৰু g(x) = 2 – x²
= – x² + 2
∴ x⁴ – 5x + 6 = (-x² + 2) (-x² – 2) + (-5x + 10)
∴ ভাগফল x² – 2 আৰু ভাগশেষ = 5x + 10
প্রশ্ন 2. দ্বিতীয় বহুপদটোক প্ৰথম বহুপদেৰে হৰণ কৰি প্ৰথম বহুপদটো দ্বিতীয় বহুপদটোৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰাঃ
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t² – 2t² – 9t – 12
উত্তৰঃ
∴ ভাগশেষ = 0
∴ t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 -ৰ এটা উৎপাদক।
(ii) x² + 3x + 1,3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
উত্তৰঃ
∴ ভাগশেষ = 0
∴ x² + 3x + 1,3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 -ৰ এটা উৎপাদক।
(iii) x³ – 3x + 1,x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
উত্তৰঃ
∴ ভাগশেষ = 0
∴ x² – 3x + 1, 3x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 -ৰ এটা উৎপাদক।
প্রশ্ন 3. যদি দুটা শূন্য √5/3 আৰু – √5/3, তেন্তে 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 ৰ বাকী আটাইবোৰ শূন্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ দুটা শূন্য হ’ল √5/3 আৰু – √5/3
∴ 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5
এতিয়া, বহুপদ ৰাশিৰ আন শূন্যবোৰ হ’ল।
x + 1 = 0, নাইবা x + 1 = 0
⇒ x= -1 ⇒ x = -1
∴ চাৰিমাত্ৰা বিশিষ্ট বহুপদ ৰাশিৰ শূন্যবোৰ হল: √5/3, -√5/3, 1 আৰু -1।
প্রশ্ন 4. x² – 3x² + x + 2 ক এটা বহুপদ g(x) ৰে হৰণ কৰাত ভাগফল x – 2 আৰু ভাগশেষ – 2x + 4 পোৱা গ’ল। g(x) উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হল, x³ – 3x² + x + 2,
q(x) = x – 2 আৰু r(x) = – 2x + 4
এই তথ্যখিনি, (বিভাজন কলৰবিধি) -ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ –
p(x) = g(x) q(x) + r(x)
⇒ p(x) = r(x) = g(x).(x)
∴ (ii) আৰু (iii) -ৰ পৰা পাওঁ, g(x) = x² – x + 1
প্রশ্ন 5. কেইটামান বহুপদ p(x), g(x), q(x) আৰু r(x) ৰ উদাহৰণ দিয়া যাতে ইহঁতে বিভাজন কলৰবিধি সিদ্ধ কৰে আৰু
(i) p(x) ৰ মাত্ৰা = q (x)ৰ মাত্ৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, p(x) = 5x² – 5x + 10;
g(x) = 5
q(x) = x² – x + 2;
আৰু r(x) = 0
∴ বিভাজন কলনবিধি বা অ্যালগোৰিদিমৰ হৰণ প্ৰক্ৰিয়া দ্বাৰা,
5x² – 5x + 10 = 5(x² – x + 2) + 0
⇒ p(x) = g(x) q(x) + r(x)
আকৌ, p(x) = q(x)
(ii) q(x)ৰ মাত্ৰা = r(x) ৰ মাত্ৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, p(x) = 7x³ – 42x + 53, g(x) = x³ – 6x + 7; q(x) = 7 আৰু r(x) = 4
∴ বিভাজন কলনবিধি বা অ্যালগোৰিদিমৰ হৰণ প্ৰক্ৰিয়া দ্বাৰা-
7x³ – 42x + 53 = 7(x³ – 6x + 7) + 4
⇒ p(x) = q(x) g(x) + r(x)
আকৌ, q(x) = 0
(iii) r(x)ৰ মাত্ৰা = 0
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, p(x) = 4x² + x² + 3x + 6;
g(x) = x² + 3x + 1;
q(x) = 4x – 11 আৰু
r(x) = 32 + 17
∴ বিভাজন কলনবিধি বা অ্যালগোৰিদিমৰ হৰণ প্ৰক্ৰিয়া দ্বাৰা-
4x² + x² + 3x + 6 = (4x – 11 ) + (x² + 3x + 1) + (32x +7)
⇒ p(x) = q(x) g(x) + r(x)
আকৌ, q(x) = r(x)
| অনুশীলী – 2.4 (ঐচ্ছিক) |
প্রশ্ন 1. সত্যাপন কৰা যে তলত ত্রিঘাত বহুপদৰ লগে লগে দিয়া সংখ্যাকেইটা ইহঁতৰ শূন্য হ’ব। আকৌ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে শূন্য আৰু সহগৰ মাজৰ সম্পৰ্কও সত্যাপন কৰা।
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; ½, 1,
উত্তৰঃ ছাত্ৰ ছাত্ৰীয়ে নিজে কৰা।
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
উত্তৰঃ ছাত্ৰ ছাত্ৰীয়ে নিজে কৰা।
প্রশ্ন 2. এটা ত্রিঘাত বহপদ উলিওৱা যাৰ শূন্যবোৰৰ সমষ্টি, শূন্যবোৰ দুটা দুটাকৈ লৈ কৰা গুণফলবোৰৰ সমষ্টি আৰু শূন্যবোৰৰ গুণফলটো যথাক্রমে 2, – 7 আৰু – 14 হয়।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদৰ ৰাশিটোঃ ax³ + bx² + cx + d.
আৰু শূন্যবোৰ হ’লঃ a, β আৰু Y
∴ a + β + y = শূন্যবোৰৰ সমষ্টি = 2
∴ aβ + βy + ya = শূন্যবোৰৰ গুণফলৰ যোগফল = – 7
∴ aβy = শূন্যবোৰৰ গুণফলৰ = -14
∴ ax³ + bx² + cx + d
= k [x – a) (x – β) (x – y)] য’ত k যিকোনো এটা ধ্রুৱক।
= k [x3 – (a + β + y) x2 + (a + βy + ya) x – aβy]
= k [x³ – 2x² – 7x + 14]
∴ k – ৰ ভিন্ন ভিন্ন মানৰ বাবে আমি ভিন্ন ভিন্ন ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদাশি পাওঁ।
প্রশ্ন 3. যদি x³ – 3x² + x + 1 বহুপদটোৰ শূন্য তিনিটা a – b, a আৰু a + b হয় তেন্তে a আৰু b কিমান?
উত্তৰঃ ধৰা হল, p(x) = x² – 3x² + x + 1
আৰু ইয়াৰ শূন্যবোৰ হলঃ a – b, a,a + b
∴ p(x)- ৰ শূণ্য = a – b
∴ p(a – b) = 0
⇒ (a – b)³ – 3(a – b)² + a – b + 1 = 0
⇒ [a³ – b³ – 3a³b + 3ab²] – 3[a² + b² – 2ab] + a – b + 1 = 0
⇒ a³ – b³ – 3a²b + 3ab² – 3a² – 3b² + 6ab + a – b + 1 = 0 ……. (1)
আৰু, ∴ p(x)- ৰ এটা উৎপাদক = a
∴ p(a) = 0
∴ a² – 3a² + a + 1 = 0 ………… (2)
আকৌ, (a + b), p(x)- ৰ এটা উৎপাদক।
∴ p(a + b) = 0
∴ (a + b)² – 3(a + b)² + (a + b) + 1 = 0
⇒ (a³ + b³ + 3a²b + 3ab² – 3(a² + b² + 2ab) + a + b – 1 = 0
⇒ a³ + b³ + 3a²b + 3ab² – 3a² – 3b² – 6ab + a + b + 1 = 0 ………. (3)
এতিয়া, (1) আৰু (3) যোগ কৰি পাওঁ –
2a³ + 6ab³ – 6a² – 6b² + 2a + 2 = 0
⇒ a³ + 3ab² – 3a² – 3b² + a + 1 = 0
⇒ (a³ – 3a³ + a + 1) + (3ab² – 3b²) = 0
⇒ 0 + 3b³ (a – 1) = 0 [(2) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ a – 1 = 0
⇒ a = 1 ……………… (4)
আকৌ, (3) আৰু (4) ৰ পাওঁ –
(1)³ + b³ + 3 (1)² b + 3(1)b²
-3(1)² – 3b² – 6(1)b + 1 + b + 1 = 0
⇒ 1 + b³ + 3b + 3b² – 3 – 3b² – 6b + b + 2 = 0
⇒ b³ – 2b = 0
⇒ b(b² – 2) = 0
⇒ b² – 2 = 0
⇒ b² = 2 ⇒ b = ±√2, ∴ a = 1, b = ±√2
প্রশ্ন 4. যদি x² – 6x² – 26x² +138x – 35 বহুপদটোৰ দুটা শূন্য 2 ±√3, তেন্তে অইন শূন্যবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশি x⁴ – 6x² – 26x² + 138x – 35-ৰ দুটা শূন্য হল 2 ± √3,।
∴ [x – (2 + √3)] [x – (2 – √3)] হ’ল প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিটোৰ দুটা উৎপাদক।
এতিয়া, [x – (2 + √3)] [x – (2 – √3)]
= x² – [2 – √3 + 2 + √3]x + [(2 + √3) (2 – √3)]
= x² – 4x + [(2)² – (√3)²]
= x² – 4x + 1
∴ প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিটোৰ উৎপাদক হ’লঃ x² – 4x + 1
∴ x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
= (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35)
= (x² – 4x + 1) (x² + 5x – 7x – 35)
= (x² – 4x + 1) {x(x + 5) – 7(x + 5)}
= (x2 – 4x + 1) (x + 5) (x – 7)
এতিয়া, বহুপদাশিটোৰ আনটোৰ আন দুটা উৎপাদক হ’লঃ
x + 5 = 0 ⇒ x – 7 = 0
⇒ x = – 5 ⇒ x = 7
∴ নির্ণেয় শূন্যবোৰ হ’ল: 2 + √3, 2 – √3, – 5 আৰু 7।
প্রশ্ন 5. যদি x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 বহুপদটোক আন এটা বহুপদ x² – 2x + k ৰে হৰণ কৰা হয়, তেন্তে ভাগশেষ ওলায় x + a । k আৰু a উলিওৱা।
উত্তৰঃ প্রশ্নমতে, x² – 6x³ + 16x² – 25x + 10 -ক x² – 2x + k -ৰে হৰণ কৰিলে, ভাগশেষ x + a) পোৱা যায়।
সুতৰাং, x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 -ক x² – 2x + k -ৰে হৰণ কৰি পাওঁ –
∴ x² – 2x + k) (x² – 4x + (8 – k) + [(- 9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)]
∴ ভাগশেষ = x² – 4x + (8 – k)
আৰু ভাগশেষ = (- 9 + 2k)x + (10 – 8k + k²)
কিন্তু, ভাগশেষ = x + a (প্রদত্ত)
∴ (-9 + 2k)x + (10 – 8k + k²) = x + a
∴ সদৃশ সহগবোৰ তুলনা কৰি পাওঁ –
-9 + 2k = 1 10 – 8k + k² = a
⇒ 2k = 10 ⇒ 10 – 8 × 5 + 5² = a[k = 5 বহুৱাই পাওঁ]
⇒ k = 5 ⇒ 10 – 40 + 25 = a
⇒-5 = a ⇒ a = -5
∴ k = 5 আৰু a = -5
| MCQ |
1. 3x³ + 11x – 2 ৰ শূন্য দুটাৰ পূৰণফল—
(a) 2/3
(b) – 2/3
(c) 11/3
(d) – 11/3
উত্তৰঃ (b) – 2/3
2. যদি p(x)=bx²+4(b+1)+1 বহুপদটোৰ এটা শূন্য 1 হয় তেন্তে চৰ মান হ’ব—
(a) – 1
(b) 1
(c) 0
(d) 4
উত্তৰঃ (a) – 1
3. যদি এটা বহুপদৰ শূন্য কেইটাৰ যোগফল p আৰু q হয় তেন্তে বহুপদটো হ’ব—
(a) x² + (p+q)x+pq
(b) x²-(p+q)x-pq
(c) x² – (p+q)x+pq
(d) x²-px+q
উত্তৰঃ (d) x²-px+q
4. যদি y = f(x) বহুপদ ৰাশিটোৰ লেখডাল X -অক্ষক দুটা বিন্দুত ছেদ কৰে তেন্তে f(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা হ’ব—
(a) 0
(b) 3
(c) 1
(d) 2
উত্তৰঃ (d) 2
5. p(x) = ax² – 3(a-1)x-1 বহুপদ ৰাশিটোৰ এটা শূন্য 1 হ’লে, a ৰ মান হ’ব—
(a) 1
(b) – 1
(c) 2
(d) -2
উত্তৰঃ (a) 1
6. তলৰ কোনটো ৰৈখিক বহুপদ নহয়—
(a) 2x-3
(b) x²+3
(c) 4x
(d) 2/3x
উত্তৰঃ (b) x²+3
7. ax²+bx+c বহুপদটো দ্বিঘাত বহুপদ হোৱাৰ চৰ্ত হ’ল—
(a) a ≠ 0
(b) b ≠ 0
(c) c ≠ 0
(d) তিনিওটা।
উত্তৰঃ (a) a ≠ 0
8. 7x⁶ – 4u⁴+3u+8ৰ মাত্ৰা হ’ল—
(a) 7
(b) 4
(c) 1
(d) 6
উত্তৰঃ (a) 7
9. এটা দ্বিঘাত বহুপদৰ বেছি সাধাৰণ আৰ্হি হ’ল—
(a) ax²+bx+c
(b) ax³+bx²+cx+d
(c) ax³+bx+c
(d) ax³+bx²+c
উত্তৰঃ (b) ax³+bx²+cx+d
10. 4u² + 8u ৰ শূন্যকেইটাৰ পূৰণ হ’ল–
(a) 4
(b) 8
(c) 32
(d) 0
উত্তৰঃ (d) 0
11. তলৰ কোনটো এটা বহুপদ নহয়?
(a) √2x² – 2√3x+5
(b) 9x² – 4x + √2
(c) 3/2x² + 6x² – 1/√2 x -8
(d) x + 3/x
উত্তৰঃ (d) x + 3/x
12. এটা দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্য দুটাৰ যোগফল আৰু পূৰণফল ক্ৰমে 3 আৰু – 10। দ্বিঘাত বহুপদটো হ’ব–
(a) x² – 3x + 10
(b) x² + 3x – 10
(c) x² – 3x – 10
(d) x² + 3x + 10
উত্তৰঃ (c) x² – 3x – 10
13. তলৰ কোনটো বহুপদৰ ক্ষেত্ৰত বিভাজন কলনবিধি বোলে।
(a) P(x) = g(x) Xq(x)+r(x)
(b) P(x) = g(x)Xq(x) – r(x)
(c) P(x) = g(x) Xr(x) +q(x)
(d) P(x) =q(x) Xr(x) + g(x)
উত্তৰঃ (a) P(x) = g(x) Xq(x)+r(x)
14. x² + 88x + 125 দ্বিঘাত বহুপদটোৰ শূন্যকেইটা—
(a) দুয়োটাই।
(b) দুয়োটাই ঋণাত্মক।
(c) এটা ধনাত্মক আৰু এটা ঋণাত্মক।
(d) দুয়োটা সমান।
উত্তৰঃ (b) দুয়োটাই ঋণাত্মক।
15. যদি -2 আৰু 3, x² + (a + 1) x + b দ্বিঘাত বহুপদটোৰ শূন্য হয় তেন্তে—
(a) a = -2, b = 6
(b) a = 2, b = – 6
(c) a = -2, b= – 6
(d) a = 2, b = 6
উত্তৰঃ (c) a = -2, b= – 6
16. এটা দ্বিঘাত বহুপদৰ শূন্য অতি বেছি থাকিব—
(a) 1
(b) 2
(c) অসংখ্য।
(d) 3
উত্তৰঃ (c) অসংখ্য।
17. এটা ত্রিঘাত বহুপদৰ শূন্য অতি বেছি থাকিব—
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) অসংখ্য।
উত্তৰঃ (b) 2
18. যদি a. আৰু β দ্বিঘাত বহুপদ ax²+bx+cৰ শূন্য তেন্তে a + β = ?
(a) b/a
(b) a/b
(c) b/a
(d) a/b
উত্তৰঃ (a) b/a
19. ax + by + c = 0 সৰল ৰেখাডাল মূলবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা চৰ্তটো হ’ল—
(a) a = 0
(b) b = 0
(c) c = 0
(d) c ≠ 0
উত্তৰঃ (c) c = 0
20. যদি এটা বহুপদ p(x) ৰ মাত্ৰা n হয়, তেন্তে বহুপদটোৰ শূন্যৰ সংখ্যা—
(a) n
(b) n + 1
(c) n – 1
(d) n²
উত্তৰঃ (a) n
