SEBA Class 10 Mathematics Chapter 6 – ত্ৰিভুজ (Triangles) হৈছে এক গুৰুত্বপূর্ণ অধ্যায়, যি ত্ৰিকোণৰ গঠন, ধৰণ, গুণ আৰু তাৰ বৈজ্ঞানিক প্ৰয়োগবোৰ বুজিবলৈ সহায় কৰে। এই অধ্যায়ত শিক্ষাৰ্থীয়ে শিকিব — ত্ৰিভুজৰ সাদৃশ্য (similarity), ত্ৰিভুজৰ গুণসম্পন্ন সূত্ৰ, Pythagoras থিয়ৰেম, আৰু নানা প্ৰমাণমূলক প্রশ্নৰ সমাধান।
এই পৃষ্ঠাত আমি আগবঢ়াইছোঁ SEBA পাঠ্যপুথিৰ Chapter 6 অনুসৰি সকলো প্রশ্নৰ ধাপে ধাপে সমাধান, যাৰ সহায়ত শিক্ষাৰ্থীয়ে নিজে নিজে অধ্যায়টো আত্মস্থ কৰিব পাৰে। ই পৰীক্ষাৰ পূৰ্ণ প্রস্তুতিৰ লগতে অংকৰ ওপৰত বিশ্বাস আৰু বুজ বৃদ্ধিত সহায় কৰে।
| অনুশীলনী – 6.1 |
1. কাষৰ বন্ধনীত দিয়া শুদ্ধ শব্দৰ সহায়ত খালী ঠাই পূৰ কৰা-
(i) সকলোবোৰ বৃত্তই ____________ (সর্বসম, সদৃশ)।
উত্তৰঃ সকলোবোৰ বৃত্তই সদৃশ।
(ii) সকলোবোৰ বৰ্গই ____________ (সদৃশ, সর্বসম)।
উত্তৰঃ সকলোবোৰ বৰ্গই সদৃশ।
(iii) সকলো ___________ ত্রিভুজ সদৃশ (সমদ্বিবাহু, সমবাহু)।
উত্তৰঃ সকলো সমবাহু ত্রিভুজ সদৃশ।
(iv) সমসংখ্যক বাহু থকা দুটা বহুভুজ সদৃশ হ’ব যদিহে (a) সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবিলাক ____________ আৰু (b) সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহু বিলাক ____________(সমান, সমানুপাতিক)।
উত্তৰঃ সমসংখ্যক বাহু থকা দুটা বহুভুজ সদৃশ হ’ব যদিহে (a) সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবিলাক সমান আৰু (b) সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহু বিলাক সমানুপাতিক।
2. তলত উল্লেখ কৰা বিলাকৰ দুটা ভিন্ন উদাহৰণ দিয়া:
(i) এযোৰ সদৃশ চিত্ৰৰ।
উত্তৰঃ (1) সকলো সমবাহু সদৃশ চিত্র আৰু (2) দুটা বর্গ সদৃশ চিত্র।
(ii) এযোৰ অসদৃশ চিত্ৰৰ।
উত্তৰঃ (1) এটা ত্রিভুজ আৰু চতুর্ভুজ অসদৃশ চিত্র। আৰু (2) এটা বৰ্গ আৰু এটা বম্বাচ অসদৃশ চিত্র।
প্রশ্ন 3. তলত দিয়া চতুর্ভুজ দুটা সদৃশ হয়নে নহয় উল্লেখ কৰা-
উত্তৰঃ চতুর্ভুজ দুটা সদৃশ নহয়। কাৰণ সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবোৰ সমান নহয়।
| অনুশীলনী 6.2 |
1. চিত্ৰ 6.17ৰ (i) আৰু (ii)ত, DE || BC. এতিয়া (ⅰ) ৰ পৰা EC আৰু (ii) ৰ পৰা AD উলিওৱা।
উত্তৰঃ ∆ABC – DE BC [দিয়া আছে]
∴ AD/BD = AE/EC [সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ 15/3 = 1/EC
⇒ EC = 3/15
∴ EC = 20 ছে.মি.।
(i) ∆ΑΒC – DE [] BC [দিয়া আছে]
∴ AD/BD = AE/EC
⇒ AD/7.2 = 1.5/5.4
2. ΔPQR ৰ PQ আৰু PR বাহুৰ ওপৰত ক্ৰমে E আৰু F দুটা বিন্দু। তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্রতে EF || QR হয়নে উল্লেখ কৰা-
(i) PE = 3.9cm EQ = 3cm PF = 3.6cm আৰু FR = 2.4cm
উত্তৰঃ E আৰু F যথাক্রমে APQR-ব PQ আৰু PR-বাহুৰ ওপৰত অবস্থিত দুটা বিন্দু।
দিয়া আছেঃ
PE = 3.9CE ., EQ = 3 ছে.মি.।
PF = 3.6 ছে মি, FR = 2.4 ছে.মি.।
∴ EF, QR-ব সমান্তৰাল নহয়।
(ii) PE = 4cm QE = 4.5cm , PF = 8cm আৰু RF = 9cm
উত্তৰঃ
(iii) PQ = 1.28cm PR = 2.56cm , PE = 0.18 cm আৰু PF = 0.36cm
উত্তৰঃ প্রদত্তঃ
PQ = 1 ছে.মি., PR = 2 ছে.মি.।
PE = 0.18 ছে.মি., RF = 0 ছে.মি.।
∴ ER = PR – PF = 2.56 – 0.36 = 2.20 ছে.মি.।
PE = 0.18 ছে.মি., RF = 0 ছে.মি.।
3. চিত্র 6.18ত, যদি LM || CB আৰু LN || CD, প্রমাণ কৰা যে AM/AB AN/AD
উত্তৰঃ
4. চিত্র 6.19ত, DE || AC আৰু DF || AE. প্রমাণ কৰা যে BF/BE = FE/EC
উত্তৰঃ
5. চিত্র 6.20ত, DE || OQ আৰু DF || OR। দেখুওৱা যে EF || QR.
উত্তৰঃ (i) প্রদত্ত: ∆PQR-ৰ DE || OQ আৰু DF || OR
(ii) প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে –
EF || QR
(iii) প্রমাণ: ∆PQO-ৰ ED || QO (প্রদত্ত)
∴ PD/DO = PE/EQ ………..(1)
আকৌ, ∆POR-ৰ DF || OR (প্রদত্ত)
∴ PD/DO = PF/FR …………(2)
(1) আৰু (2)-ৰ পৰা পোৱা যায় যে-
PE/EQ = PF/FR ⇒ EF || QR [প্রমাণিত]
6. চিত্র 6.21ত, A, B আৰু C বিন্দু তিনিটা ক্রমে OP, OQ আৰু OR ৰ ওপৰত আছে যাতে AB || PQ আৰু AC || PR. দেখুওৱা যে, BC || QR
উত্তৰঃ প্রদত্ত: A, B আৰু C আৰু OP, OQ আৰু OR বিদত্রয় ক্রমে আৰু বাহু তিনিটাৰ ওপৰত এনেদৰে স্থাপন কৰা হৈছে
যাতে AB || PQ আৰু AC || PR হয়।
প্রামাণ্য: BC || QR
প্রমাণ: OPQ ত্রিভুজৰ AB || PQ (প্রদত্ত)
∴ OA/AP = OB /BQ …………….. (1)
আকৌ, OPR ত্রিভুজৰ AC || PR(প্রদত্ত)
∴ OA/AP = OC/CR …………….(2)
এতিয়া, (1) আৰু (2) ৰ পৰা
OB/BQ = OC/CR
∴ BC || QR [প্রমাণিত]
7. উপপাদ্য 6.1ৰ সহায়ত প্রমাণ কৰা যে এটা ত্রিভুজৰ এটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰে যোৱাকৈ টনা ৰেখাডাল যদি আন এটা বাহুৰ সমান্তৰাল হয়, তেনেহ’লে ৰেখাডালে তৃতীয় বাহুটোক দ্বিখণ্ডিত কৰিব। (মনত পোলোৱা, এইটো তোমালোকে নৱম শ্ৰেণীত প্ৰমাণ কৰিছিলা)
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: D, ABC ত্রিভুজৰ AB-ৰ মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ AD = DB। এটা ৰেখা, BC-ৰ সমাদৰাল কৰি অংকন কৰাতে, ই AC-ক E বিন্দুত ছেদ কৰে। অর্থাৎ DE BC
(ii) প্রামাণ্য: E, AC-ৰ মধ্যবিন্দু।
(iii) প্রমাণ:
∴ D, AB -ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ AD = DB (প্রদত্ত)
∴ AD/ BD ……………… (1)
আকৌ, ABC ত্রিভুজৰ DE || BC
∴ AD/DB = AE/EC ……….. (2)
∴ (1) আৰু (2)-ৰ পৰা পাওঁ –
AE/EC = 1
⇒ AE = EC
∴ E, AC-ৰ মধ্যবিন্দু। [প্রমাণিত]
8. উপপাদ্য 6.2ৰ সহায়ত প্রমাণ কৰা যে এটা ত্রিভুজৰ দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাডাল তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল। (মনত পেলোৱা, এইটো তোমালোকে নৱম শ্ৰেণীত প্রমাণ কৰিছা)
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABC ত্রিভুজৰ AB আৰু AC বাহু দুটাৰ ওপৰত D আৰু E দুটা মধ্যবিন্দু এনেদৰে স্থাপন কৰা হ’ল, যাতে AD = BD আৰু AE = EC হয়। D আৰু E সংযোগ কৰা হ’ল।
(ii) প্রামাণ্য: DE || BC-ৰ মধ্যবিন্দু।
(iii) প্রমাণ: D, AB -ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ AD = DB
9. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু ইয়াৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ O বিন্দুত ছেদিত হয়। দেখুওৱা যে AO/BO = CO/DO
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC. AC আৰু BD কর্ণ দুডাল পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দু ছেদ কৰিছে।
(ii) প্রামাণ্য: = DO/OB = OC/OA
(iii) অংকন: O বিন্দুৰ মাজেৰে, FO || DC || AB টনা হ’ল।
(iv) প্রমাণ: DAB ত্রিভুজৰ FO || AB [অংকন মতে]
10. ABCD চতুর্ভুজটোৰ কৰ্ণদুডালে পৰস্পৰক ০ বিন্দুত এনেভাবে ছেদ কৰে যে AO/BO = CO/DO দেখুওৱা যে ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম।
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABCD এটা চতুর্ভুজ। ইয়াৰ AC আৰু BD কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দুত এনেদৰে ছেদ বা কটাকটি কৰে যাতে, AO/BO = CO/DO হয়।
(ii) প্রামাণ্য: ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম।
(iii) অংকন: O বিন্দুৰ মাজেৰে,
EO || AB টনা হ’ল আৰু ই AD বাহুক E বিন্দুত ছেদ কৰে।
(iv) প্রমাণ: ∆DAB -ৰ ΕΟ || ΑΒ
∴ ABCD চতুর্ভুজটো এটা ট্রেপিজিয়াম। [প্রমাণিত]
| অনুশীলনী 6.3 |
1. চিত্র 6.34 ত দিয়া ত্রিভুজবিলাকৰ কোণবিলাক যোৰ সদৃশ উল্লেখ কৰা। উত্তৰটো দিয়াৰ ক্ষেত্ৰত কি সাদৃশ্য চৰ্ত ব্যৱহাৰ কৰিলা লিখা আৰু সদৃশ হোৱা ত্রিভুজবিলাক প্রতীকেৰে প্ৰকাশ কৰা।
উত্তৰঃ ∆ABC আৰু ∆PQR দুটাৰ,
∠A = ∠P [প্রতিটো কোণ = 60°]
∠B = ∠Q [প্রতিটো কোণ = 80°]
আৰু, ∠C = ∠R [ প্রতিটো কোণ = 40°]
∆ABC ∠PQR [ A – A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
উত্তৰঃ ∆ABC আৰু ∆PQR দুটাৰ,
AB/RQ = 2/4 = 1/2 …………..(1)
AC/PQ = 3/6 = 1/2 …………..(2)
BC/PR = 2.5/5 = 1/2 …………..(3)
(1), (2) আৰু (3)-ৰ পৰা পাওঁ-
AB/RQ = AC/PQ = BC/PR = 1/2
∴ ∆ABC ~ ∆QRP [S – S – S সাদৃশ্য উপপাদ্য]
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ ∆DEF – ৰ পৰা-
∠D = 70°, ∠E = 80°
∴ ∠D+ ∠E + ∠F – 180°
⇒ 70° + 80° + ∠F=180° [: এটা ত্রিভুজৰ তিনিটা কোণৰ সমষ্টি = 180°]
⇒ 150° + ∠F = 180°
⇒ ∠F = 180° – 150° = 30°
আকৌ, ∆PQR-ৰ পৰা –
∠Q = 80° ∠R = 30°
∴ ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ ∠P + 80° + 30° = 180°
⇒ ∠P + 180° – 110° = 70°
∆DEF আৰু ∆PQR দুটাৰত,
∠D = ∠P = 70°
∠E = ∠Q = 80°
∠F = ∠R = 30°
∆DEF – ∆PQR [ A – A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]।
2. চিত্র 6.35 ত, ∆ODC ~ ∆ΟΒΑ, ∠BOC = 125° আৰু ∠CDO = 70° | ∠DOC, ∠DCO আৰু ∠OAB নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্রদত্ত:
∠BOC = 125°, ∠CDO = 70°
∠DOC =?, DCO =?, ZOAB = ?
∴ DOB এটা সৰলৰেখা।
∴ ∠DOC + ∠COB = 180° [ৰৈখিৰ যোৰৰ স্বতঃসিদ্ধ]
⇒ ∠DOC + 125° = 180°
⇒ ∠DOC + 180° – 125° = 55°
∴ ∠DOC+ ∠AOB = 55° [বিপ্রতীপ শীর্ষক কোণ]
কিন্তু, ∆ODC ~ ∆ΟΒΑ
∴ ∠D= ∠B = 70°
∆DOC – ৰ পৰা-
∠D+ ∠O + ∠C = 180°
⇒ 70° + 55° ∠C = 180°
⇒ ∠C = 18° – 125° = 55°
3. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু AC আৰু BD কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰক O বিন্দুত ছেদ কৰে। দুটা ত্ৰিভুজৰ কোনো সাদৃশ্য চৰ্ত ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে OA/OC = OB/OB
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB | DC আৰু কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দুত ছেদ কৰে।
(ii) প্রামাণ্য: AO/OC = OB/OD
(iii) প্রমাণ:
∴ AB || DC, AC আৰু DB দুটা ছেদক।
∴ ∠r = ∠2 [একান্তৰ কোণ]
∠5 = ∠6 [বিপৰীত শীর্ষক কোণ]
আৰু ∠3 = ∠4 [একাহৰ কোণ]
∴ ∆DOC ~ ∆BOB [A – A – A] উপপাদ্য।
∴ DO/BO = OC/OA
⇒ DO/OC = BO/DO [প্রমাণিত]
4. চিত্র 6.36 ত, QR/QS = QT/PR আৰু ∠1 = ∠2 দেখুওৱা যে ∆PQS ~ ∆TQR
উত্তৰঃ
5. ∆PQR ৰ PR আৰু QR বাহুৰ ওপৰত S আৰু T দুটা বিন্দু যাতে ∠P = ∠RTS. দেখুওৱা যে ∆RPQ ~ ∆RTS.
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ∆PQR-ৰ PR আৰু QR বাহুদ্বয়ৰ ওপৰত দুটা বিন্দু S আৰু T’ এনেদৰে স্থাপন কৰা আছে যাতে∠P = ∠RTS
(ii) প্রামাণ্য: ∆RPQ ~ ∆RTS
(iii) প্রমাণ: ∆RPQ আৰু ∆RTS-ৰ পৰা
∠RPQ = ∠RTS (প্রদত্ত)
∠R = ∠R (সাধাৰণ কোণ)
∴ ∆RPQ ~ ∆RTS [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য] (প্রমাণিত)
6. চিত্র 6.37ত যদি ∆ABE ≅ ∆ACD দেখুওৱা যে ~ ∆ADE ~ ∆ABC
উত্তৰঃ (i) বিশেষ সূত্র: ∆ABE ≅ ∆ACD
(ii) প্রামাণ্য: ∆ADE ~ ∆ABC
(iii) প্রমাণ:
∴ ∆ABE ≅ ∆ACD
∴ AB = AC আৰু AE = AD
∴ AB/AC = ………….(1)
আৰু AE/AD 1 = ………….(2)
এতিয়া, (1) আৰু (2)-ৰ পৰা-
AB/AC = AD/AE
∴ ∆ADE আৰু ∆ABC -ৰ পৰা-
AD/AE = AB/AC ∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∴ ∆ADE ~ ∆ABC | SAS সাদৃশ্য উপপাদ্য] (প্রমাণিত)
7. চিত্র 6.38ত ∆ABC ৰ AD আৰু CE উন্নতি দুডালে পৰস্পৰক P বিন্দুত ছেদ কৰে। দেখুওৱা যে-
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
উত্তৰঃ AEP আৰু CDP ত্রিভুজ দুটাৰ পৰা
∠E = ∠D = 90°
∠APE = ∠CPD [বিপ্রতীপ শীর্ষক কোণ]
∴ ∆AEP ~ ∆CDP [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
উত্তৰঃ ABD আৰু CBE ত্রিভুজৰ
∠D = ∠E = 90°
∠B = ∠B [সাধাৰণ কোণ]
∴ ∆ABD ~ ∆CBE [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
উত্তৰঃ ∆AEP আৰু ∆ADB ত্রিভুজৰ
∠E = ∠D = 90°,
∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∴ ∆AEP ~ ∆ADB [A – A] সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC
উত্তৰঃ ∆PDC আৰু ∆BEC ত্রিভুজৰ
∠D = ∠E = 90°
∠C = ∠C [সাধাৰণ কোণ]
∴ ∆PDC ~ ∆BEC [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
8. ABCD সামান্তৰিকৰ AD বাহুৰ বৰ্ধিত অংশত E টা বিন্দু আৰু BE ৰেখাই CD ক F বিন্দুত ছেদ কৰে। দেখুওৱা যে ∆ΑΒΕ ~ ∆CFB।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABCD এটা সামাচ্ছবিক। AD বাহুক E লৈ বর্ধিত কৰা হল। BE বাহু, DC বাহুক F বিন্দুত ছেদ কৰে
প্রমাণ: ABE আৰু CFB ত্রিভুজ দুটাৰ পৰা পোৱা যায়-
∠A = ∠C [সামাহৰিক বিপৰীত কোণ]
আৰু ∠ABE = ∠CFB [একাস্থ কোণ]
∴ ∆ABE ~ ∆CFB [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
9. 6.39 চিত্ৰত ABC আৰু AMP দুটা সমকোণী ত্রিভুজ। ইহঁতৰ সমকোণ দুটা ক্রমে B আৰু M। প্রমাণ কৰা যে-
(i) ∆АВС ~ ∆ΑΜΡ
উত্তৰঃ বিশেষ সূত্র: ABC আৰু AMP দুটা সমকোণী ত্রিভুজ। সিহঁতৰ ∠B = 90° আৰু ∠M = 90°
প্রমাণঃ ∆ABC আৰু ∆AMP ত্রিভুজ দুটাৰ পৰা পোৱা যায় যে-
∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∠B = ∠M = 90°
∴ ∆ABC ~ ∆AMP
[A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(ii) CA/PA = BC/MP
উত্তৰঃ ∴ ∆ABC ~ ∆AMP
∴ AC/AP = BC/MP
⇒ CA/PA = BC/MP [প্রমাণিত]
10. ∆ABC আৰু ∆EFG ৰ AB আৰু FE বাহুত ক্রমে D আৰু H দুটা বিন্দু। CD আৰু GH ক্রমে ∠ACB আৰু ∠EGF সমদ্বিখণ্ডক। যদি ∆ABC sim ∆FEG দেখুওৱা যে-
(i) CD/GH = AC/FG
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABC আৰু EFG ত্রিভুজব CD আৰু GH, ∠ACB আক ∠EGF ব সমদ্বিখণ্ড কছয়।
অর্থাৎ, ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 আৰু ∆ABC ~ ∆FEG
(i) ∴ ∆ABC ~ ∆FEG
∴ ∠A = ∠F; ∠B = ∠E
আৰু ∠C = ∠G
∴ ∠C = ∠G
⇒ 1/2 ∠C = 1/2 ∠G
⇒ ∠2 = ∠4 অথবা ∠1 = ∠3
এতিয়া, ∆ACD আৰু ∆FGH ত্রিভুজ দুটাত
∠A = ∠F আৰু ∠2 = 24
∆ABC ~ ∆FEG [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ CD/GH = AG/FG [প্রমাণিত]
(ii) ∆DCB আৰু ∆HGE ত্রিভুজ দুটাত
∠B= ∠E; ∠1 = ∠3
∴ ∆DCB ~ ∆HGE [AA সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(iii) ∆DCA আৰু ∆HGF ত্রিভুজ দুটাত পৰা
∠A = ∠F; ∠2 = ∠4
∴ ∆DCA ~ ∆HGF [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
11. চিত্র 6.40ত, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ AB = AC আৰু CB ৰ বৰ্ধিত অংশত E এটা বিন্দু। যদি AD ⏊ BC আৰু EF ⏊ AC, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে ∆ABD ~ ∆ECF
উত্তৰঃ ∆ABD আৰু ∆CEF
∠CFE = ∠ADC সমকোণ
∠ABD = ∠ECF (সমদ্বিবাহু ত্রিভূজৰ বিপৰীত কোণ)
∴ ∆ABD ~ ∆ECF
12. ABC ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহু AB আৰু BC আৰু মধ্যমা AD ৰ লগত PQR ত্ৰিভুজৰ ক্রমে দুটা বাহু PQ আৰু QR আৰু মধ্যমা PM সমানুপাতিক। (চিত্র 6.41 চোৱা)। দেখুওৱা যে ∆ABC ~ ∆PQR.
উত্তৰঃ দিয়া আছে:
AB/PB = BC/QR = AD/PM …………(i)
BD = 1/2 BC
⇒ 2BD = BC
আৰু QM = 1/2 QR
⇒ 2QM = QR
(i) ⇒ AB/PQ = BC/QR = AD/PM
⇒ AB/PQ = 2BD/2QM = AD/PM
⇒ AB/PQ = BD/QM = AD/PM
∴ ∆ABC ~ ∆PQM
∴ ∠B = ∠Q
এতিয়া, AB/PQ = BC/QR
আৰু ∠B = ∠Q
∴ ∆ABC ~ ∆PQR
13. ABC ত্রিভুজৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দু আৰু ∠ADC = ∠BAC. দেখুওৱা যে CA² = CB.CD
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABC ত্রিভুজৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দুটো এনেদৰে স্থাপন কৰা হৈছে।
যাতে ∠ADC = ∠BAC হয়।
প্রমাণ: ∆ABC আৰু ∆ADC ত্রিভুজ দুটাত ∠C= ∠C (সাধাৰণ)
∠BAC = ∠ADC (প্রদত্ত)
∴ ∆ACD ~ ∆DAC [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ AC/DC = BC/AC
⇒ AC² = BC × DC [প্রমাণিত]
14. ত্রিভুজ ABC ৰ দুটা বাহু AB আৰু AC আৰু মধ্যমা AD আন এটা ত্রিভুজ PQR ৰ ক্ৰমে দুটা বাহু PQ আৰু PR আৰু মধ্যমা PM ৰ লগত সমানুপাতিক। দেখুওৱা যে ∆ABC ~ ∆PQR
উত্তৰঃ AD বাহুক E বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল।
এতিয়া, AD = DE আৰু CE সংযোগ কৰা হ’ল।
আকৌ, PM ক S বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল।
এতিয়, PM = MS আৰু RS সংযোগ কৰা হ’ল।
এতিয়া,
∆ADB আৰু ∆EDC ৰ
∠ADB = ∠EDC
BD = CD
আৰু AD = DE
∴ ∆DBA ≅ ∆EDC
∴ AB = CE
আকৌ ∆PMQ আৰু ∆SMR ৰ
∠PMQ = ∠SMR
PM = MS
আৰু QM = MR
∴ ∆PMQ ∆SMR
∴ PQ = SR
এতিয়া AB/PQ = AC/PR = AD/PM
⇒ CE/SR = AC/PR = AD/PM
∴ ∆ACD ~ ∆PSR ∠EAC = ∠SPR …………(i)
একেদৰে এতিয়া ∠DAB = ∠MPQ………..,(ii)
এতিয়া (i) + (ii) ⇒ ∠EAC + ∠DAB = ∠SPR + ∠MPQ
⇒ ∠A = ∠P
∆ABC আৰু ∆PQR ৰ পৰা
∴ AB/PQ = AC/PR
আৰু ∠A = ∠P
∆ABC ~ ∆PQR
15. 6 m ওখ এটা উলম্ব খুটাৰ ভূমিত হোৱা ছাঁৰ দীঘ 4 m আৰু একে সময়তে এটা টাৱাৰৰ ছাঁৰ দীঘ 28 m। টাৱাৰটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
উল্লম্ব খুটাৰ দৈর্ঘ্য = 6 মি.
খুটাৰ ছাঁৰ দৈর্ঘ্য = 4 মি.
ধৰা হ’ল টাৱাৰ উচ্চতা = H মি.
টাৱাৰৰ ছাঁৰ দৈর্ঘ্য = 28 মি.
এতিয়া, ∆ABC আৰু ∆PNM-ৰ পৰা
∠C = ∠N = 90°;
∠B = ∠M
∴ ∆ABC ~ ∆PNM [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ AB/PM = BC/MN
⇒ 6/H = 4/2
⇒ H = 6 × 28/4 = 6 × 7 = 42
∴ টাৱাৰৰ উচ্চতা = 42 মিটাব (উত্তৰ)
16. ABC আৰু PQR ত্রিভুজ দুটাৰ মধ্যমা ক্রমে AD আৰু PM। যদি ∆ABC ~ ∆PQR, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে AB/PQ = AD/PM
উত্তৰঃ বিশেষ সূত্র: AD আৰু PM ক্রমে ABC আৰু PQR ত্রিভুজ দুটাৰ
মধ্যমাদ্বয় আৰু ∆ABC ~ ∆PQR
∴ ∆ABC ~ ∆PQR
∴ AB/PQ = BC/QR = AC/PR
∴ ∠A = ∠P; ∠B = ∠Q; ∠C = ∠R
∴ D, BC-ৰ মধ্যবিন্দু
∴ BD = DC = 1/2 BC ………….. (1)
আকৌ, ∴ M, QR -ৰ মধ্যকিদু
QM = MR = 1/2 QR ………….(2)
∴ AB/PQ = BC/QR
⇒ AB/PQ = 2BD/2QM [(1) আৰু (2) – ৰ পৰা]
⇒ AB/PQ = BD/QM
∠ABD ~ PQM [ প্রদত্ত ]
∆ABC ~ ∆PQM [S – A – S সাদৃশ্য উপপাদ্য ]
∴ AB/PQ = BC/QR [প্রমাণিত]
| অনুশীলনী 6.4 |
1. ধৰা ∆ABC ~ ∆DEF আৰু সিহঁতৰ কালি ক্রমে 64 cm² আৰু 121 cm² | যদি EF = 15.4 cm, BC উলিওৱা।
উত্তৰঃ
2. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰক O বিন্দুত ছেদ কৰে। যদি AB = 2 CD, AOB আৰু COD ত্রিভুজৰ কালিৰ অনুপাত উলিওৱা।
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দুত ছেদ কৰে। আৰু AB = 2CD।
AOB ত্রিভুজৰ কালি আৰু ত্রিভুজৰ কালিৰ অনুপাত নির্ণয় কৰিব লাগে।
∆AOB আৰু ∆COD ত্রিভুজ দুটাত
∠1 = ∠2 [একান্তৰ কোণ]
∠3 = ∠4 [একান্তৰ কোণ]
আৰু ∠5 = ∠6 [বিপ্রতীপ শীর্ষক কোণ]
∴ ∆AOB ~ ∆COD [A – A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ ∆AOB -ৰ কালি: ∆COD -ৰ কালি = 4:1 নির্ণেয় অনুপাত।
3. চিত্র 6.44ত, একে ভূমি BC ৰ ওপৰত ABC আৰু DBC দুটা ত্রিভুজ। যদি AD য়ে BCক O বিন্দুত ছেদ কৰে তেন্তে দেখুওৱা যে, ar(ABC))/ar(DBC) = AO/DO
উত্তৰঃ AE ⏊ BC আৰু DF ⏊ BC আঁকা হ’ল।
∠AEO = ∠DFO = 90°
∆AOE আৰু ∆DOF ৰ
∠AEO = ∠DFO = (90°)
∠AOE = ∠DOF (বিপ্রতীপ কোণ)
∴ ∆AOE ~ ∆DOF
∴ AE/DF = AO/DO ………….(i)
আকৌ
4. যদি দুটা সদৃশ ত্রিভুজৰ কালি সমান, প্ৰমাণ কৰা যে সিহঁত সর্বসম।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ∆ABC ~ ∆DEF আৰু সিহঁতৰ কালি সমান।
প্রমাণ: ∴ ∆ABC ~ ∆DEF
∆ABC-ৰ কালি/∆DBC-ৰ কালি = BC²/EF²
⇒ BC²/EF² = 1
∴ [∆ABC ~ ∆DEF]
⇒ BC² = EF²
⇒ BC = EF
আকৌ, ∆ABC ~ ∆DEF
∴ ∠B = ∠E; ∠C = ∠F আৰু BC = EF
∆ABC ≅ ∆DEF [A – S – A স্বীকার্য্য মতে] (প্রমাণিত)
5. ∆АВСৰ AB, BC আৰু CA বাহুৰ মধ্যবিন্দু ক্রমে D, E আৰু F। ∆DEF আৰু ∆ABCৰ কালিৰ অনুপাত উলিওৱা।
উত্তৰঃ DE || AC আৰু DF || BC
∆ABC আৰু ∆DEF ৰ
∠DEF = ∠BAC
∠EDF = ∠ACB
∴ ∆ABC ~ ∆DEF ৰ
6. প্রমাণ কৰা যে দুটা সদৃশ ত্রিভুজৰ কালিৰ অনুপাত সিহঁতৰ অনুৰূপ মধ্যমা দুডালৰ অনুপাতৰ বৰ্গৰ সমান।
উত্তৰঃ
∆ABC~ ∆PQR
আৰু ∆ABC ৰ AD সমদ্বিখণ্ডক
আৰু APQR ৰ PS সমদ্বিখণ্ডক
∆ABD আৰু ∆PQS ৰ
∠ADB = ∠PSQ (90°)
∠BAD = ∠QPS (LA = ∠P)
∴ ∆ABD ~ ∆PQS
∴ AB/PQ = AD/PS …………..(i)
আকৌ, ∆ABC~ ∆PQR
7. প্রমাণ কৰা যে এটা বৰ্গৰ এটা বাহুৰ ওপৰত গঠিত এটা সমবাহু ত্রিভুজৰ কালি বৰ্গটোৰ এটা কৰ্ণৰ ওপৰত গঠিত সমবাহু ত্রিভুজটোৰ কালিৰ আধা।
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল ABCD বৰ্গৰ বাহু = a
AC কৰ্ণৰ দৈর্ঘ্য √a² + a² = √2a
∆PAB, AB বাহুৰ ওপৰত অৱস্থিত আৰু ∆QAC, AC কৰ্ণৰ ওপৰত অৱস্থিত।
∆PAB ~ ∆QAC [AAA সদৃশতা স্বীকার্য প্রত্যেক ∠ = 60°]
শুদ্ধ উত্তৰটোত (√) চিন দিয়া আৰু যুক্তি দিয়াঃ
8. ABC আৰু BDE দুটা সমবাহু ত্রিভুজ আৰু BC বাহুৰ মধ্যবিন্দু D। ABC আৰু BDE ত্রিভুজ দুটাৰ কালিৰ অনুপাত হ’ব-
(A) 2:1
(B) 1:2
(C) 4:1
(D) 1:4
উত্তৰঃ (C) 4:1
9. দুটা সদৃশ ত্রিভুজৰ বাহুৰ অনুপাত 4: 9। এই ত্রিভুজ দুটাৰ কালিৰ অনুপাত হ’ল
(A) 2:3
(B) 4:9
(C) 81:16
(D) 16:81
উত্তৰঃ (D) 16:81
| অনুশীলনী 6.5 |
1. ত্রিভুজৰ কিছুমান বাহুৰ দীঘ তলত দিয়া হ’ল। ইয়াৰে কোনবিলাক সমকোণী ত্রিভুজ উলিওৱা। সমকোণী ত্রিভুজৰ ক্ষেত্ৰত অতিভুজডালৰ দীঘ লিখা।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ABC ত্রিভুজৰ বাহুৰ দীঘ AB = 7cm BC = 24cm AC = 25cm
∴ AB² + BC² = (7)² + (24)²
= 49 + 576 = 625
আকৌ, AC² = (25)² = 625
∴ AB² = BC² = AC²
∴ ∆ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ। অতিভুজ ডালৰ দীঘ = 25cm.
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল PQR ত্রিভুজৰ PQ = 3cm PQ = 8cm PR = 6cm
∴ PQ² + PR² = (3)² + (6)²
= 9 + 36 = 45
∴ OR² = (8)² = 64
ইয়াত, PQ² = PR² + OR² অর্থাৎ পিথাগোৰাচৰ সূত্র সিদ্ধ নহয়।
∴ ∆PQR সমকোণী ত্রিভুজ নহয়।
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল MNP ত্রিভুজৰ MN = 50cm, NP – 80cm, MP = 100cm.
∴ MN² + NP² = (50)² + (80)²
= 2500 + 6400 = 8900
∴ MP² = (100)² = 10000
ইয়াত, MN² = NP² + MP²
∴ ∆MNP সমকোণী ত্রিভুজ নহয়।
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ABC ত্রিভুজৰ AB = 13cm BC = 12cm AC = 5cm
∴ BC² + AC² = (12)² + (5)²
= 144 + 25
= 169
∴ AB² = (13)² = 169
∴ BC² = AC² = AB²
∴ ∆MNP এটা সমকোণী ত্রিভুজ। ইয়াৰ অতিবুজ AB = 13cm
2. PQR ত্রিভুজৰ P কোণ সমকোণ আৰু QRৰ ওপৰত M এটা বিন্দু। যদি PM ⏊ QR, দেখুওৱা যে PM² = QM.MR
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ∆PQR এটা সমকোণী ত্রিভুজ। ইয়াৰ ∠P = 90° আৰু QR-ৰ ওপৰত M এটা বিন্দু এনেদৰে স্থাপন কৰা হৈছে যাতে PM + QR
∠P = 90° [প্রদত্ত]
∴ ∠1 + ∠2 = 90°……………… (1)
∠ M = 90° [ PM ⏊ QR]
∆PMQ -ৰ পৰা-
∠1 + ∠3 + ∠5 = 180°
⇒ ∠1 + ∠3 + ∠ 90° = 180°
⇒ ∠1 + ∠3 + ∠180° – 90° …….. … (2)
∴ (1) আৰু (2)-ৰ পৰা –
∠1 + ∠2 = ∠1+ ∠3
∠2 = ∠3
এতিয়া, ∆QPM আৰু ∆RPM-ৰ পৰা –
∠2 = ∠3
∠5 = ∠6 [প্রতিটো কোণ]
∴ ∆QPM ~ ∆RPM [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
3. চিত্র 6.53ত, ABD এটা সমকোণী ত্রিভুজ যাৰ A কোণটো সমকোণ আৰু AC1 BD. দেখুওৱা যে-
(i) AB² = BC . BD
উত্তৰঃ ∆DAB আৰু ∆DCA-ৰ পৰা
∠D = ∠D [সাধাৰণ ]
∠A = ∠C [প্রতিটো কোণ = 90°]
∴ ∆DAB ~ ∆DCA [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য……………(1)
আকৌ, ∆DAB আৰু ∆ACB-ৰ পৰা
∠B = ∠B [সাধাৰণ]
∠A = ∠C [প্রতিটো কোণ = 90°]
∴ ∆DAB ~ ∆ACB ………… (2)
(1) আৰু (2)-ৰ পৰা-
∆DAB ~ ∆ACB ~ ∆DCA
∴ ∆ACB ~ ∆DAB
(ii) AC² = BC . DC
উত্তৰঃ
(iii) AD² = BD . CD
উত্তৰঃ
4. ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যাৰ C কোণ সমকোণ। প্রমাণ E কৰা যে AB² = 2AC²
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABC এটা সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। ইয়াৰ ∠C = 90°
প্রমাণ: ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ পৰা পাওঁ –
AB² = AC² + BC²
⇒ AB² = AC² + AC² [∴ AC = BC]
⇒ AB = 2AC² [প্রমাণিত]
5. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ AC = BC যদি AB² = 2AC² প্রমাণ কৰা যে ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। যাৰ AC = BC আৰু AB² = 2AC²
প্রমাণ: AB² = 2AC² (প্রদত্ত)
⇒ AB² = AC² + AC²
⇒ AB² = AC² + BC² [∴ AC = BC), ই পিথাগোৰাচৰ সূত্র।
∴ ∆ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ। [প্রমাণিত]
6. এটা সমবাহু ত্রিভুজ ABC ৰ বাহুৰ দীঘ 2a। ইয়াৰ প্ৰতিটো উন্নতিৰ দীঘ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
∆ABC এটা সমবাহু ত্রিভুজ। ইয়াৰ প্ৰতিটো বাহু = 2a
AD ⏊ BC টনা হ’ল।
∴ AB = AC = BC = 2a
∴ ∆ADB = ∆ADC
[R-H S স্বীকার্য্য মতে]
∴ BD = DC = a
∴ সমকোণী ত্রিভুজ ADB-ৰ পৰা
AB² = AD² + BD²
⇒ (2a)² = AD² + (a)²
⇒ 4a² – a² = AD²
⇒ AD = √3a²
⇒ AD = √3a
∴ উন্নতি = √3a একক।
7. প্রমাণ কৰা যে এটা ৰম্বাচৰ বাহুবিলাকৰ বৰ্গৰ যোগফল তাৰ কৰ্ণ দুডালৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABCD এটা ৰঙ্কাচ। ইয়াৰ কৰ্ণদ্বয় AC আৰু BD পৰস্পৰ লম্বভাবে বিন্দুত ছেদ কৰিছে।
প্রমাণ: বম্বাছৰ কর্ণদ্বয় সমকোণত দ্বি-খণ্ডিত হয়।
∴ AO = CA; BO = DO
∴ ∆ΑΟΒ সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
AB² = AO² + BO² ……………(1) [পিথাগোৰাচৰ সূত্র]
অনুৰূপভাবে,
BC² = CO² + BO² ……….(2)
CD² = CO² + DO² ………… (3)
আৰু DA = DO² + AO²………… (4)
∴ (1) + (2) + (3) + (4) কৰি পোৱা যায় –
AB² + BC² + CD² + DA²
= 2AO² + 2CO² + 2BO² + 2DO²
= 4A0² + 4B0² [∴ AO = CO আক BO = DO]
= (2AO)² + (2BO)² = AC² + BD² [প্রমাণিত]
8. চিত্র 6.54ত, ABC ত্রিভুজৰ O এটা অন্তঃস্থ বিন্দু আৰু OD ⏊ BC, OE ⏊ AC আৰু OF⏊ AB. দেখুওৱা যে-
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OF² – OF² = AF² + BD² + CE²,
উত্তৰঃ ∆AFO সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা:
OA² = OF² + AF² [পিথাগোৰাচৰ সূত্র]
⇒ AF² = 0A² – OF² ………(a)
∆BDO সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰাঃ
OB² = BD² + OD²
⇒ BD² = 0B² – OD² …………(b)
∆CEO সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰাঃ
OC² = CE² + OE²
⇒ CE² = OC² – OE²
এতিয়া, (a) + (b) + (c) কবি পাওঁ-
∴ AF² + CD² + CE² = OA² – OF² + OB² – OD² + OC² – OE²
= OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² [প্রমাণিত]
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
উত্তৰঃ আকৌ, AF² + BD² + CE² = (OA² – OE²) + (OC² – OD²) + (OB² – OF²) + AE² + CD² + BF² (প্রমাণিত)
[∴ AE² = A0² – OE², CD² = OC² – OD² ,BF² = OB² – OF²]
9. 10m দীঘল জখলা এডালে ভূমিৰ পৰা 8m ওপৰত থকা খিৰিকি এখন ঢুকি পায়। বেৰখনৰপৰা জখলা ডালৰ গুৰিটোৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ভূমিৰ পৰা খিৰিকিৰ উচ্চতা = 8 মিটাৰ
জখলাৰ দৈর্ঘ্য (AC) = 10 মিটাৰ, BC = ?
∴ ∆ABC-ৰ পৰা পাওঁ-
AB² + BC² = AC²
⇒ (8)² + BC² = (10)²
⇒ BC² = 100 – 64 = 36
⇒ BC = √36 = 6
∴ বেৰখনৰ পৰা জখলা ডালৰ গুৰিটোৰ দূৰত্ব (BC) = 6 মিটাৰ। (উত্তৰ)
10. 24 মিটাৰ দীঘল এডাল ভাৰ উত্তোলন কৰা জৰী (তাঁৰ) 18 মিটাৰ ওখ উলম্ব খুটা এটাত বান্ধি থোৱা আছে আৰু আনটো মূৰত এটা গধুৰ বস্তু বান্ধি থোৱা আছে। খুটাটোৰ গুৰিৰপৰা তাঁৰডালে কিমান ওপৰলৈ গধুৰ বস্তুটো দাঙি নিলে তাঁৰডাল টনটনীয়া (taut) হ’ব?
উত্তৰঃ
খুটাব (AB) উচ্চতা = 18 মিটাৰ জৰী বা তাঁৰৰ (AC) দৈর্ঘ্য = 24 মিটাৰ
BC = ?
∴ ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰাঃ
AB² + BC² = AC²
⇒ (18² + BC² = (24)²
⇒ 324 + BC² = 576
⇒ BC² = 576 – 324 = 252
⇒ BC = √252
= 6√7 মিটাৰ (উত্তৰ)
11. এখন উৰাজাহাজ এয়াৰ প’ৰ্টৰপৰা উৰা মাৰিলে আৰু ঘণ্টাত 1000 km দ্রুতিত উত্তৰ দিশে গতি কৰিলে। একে সময়তে, আন এখন উৰাজাহাজ একেটা এয়াৰপৰ্টৰপৰা পশ্চিম দিশে ঘণ্টাত 1200 km দ্ৰুতিত উৰা মাৰিলে 1 1/2 ঘণ্টাৰ পিচত দুয়োখন উৰাজাহাজৰ মাজত দূৰত্ব কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ
প্রথম উৰাজাহাজখন উত্তৰ দিশত 1 1/2 ঘণ্টাত অতিক্রম কৰা দূৰত্ব (OA)
= (100 × 3/2) = 1500 km.
∴ OA = 1500 km
আকৌ, দ্বিতীয় উৰাজাহাজখন পশ্চিম দিশত 1 1/2 ঘণ্টা অতিক্রম কৰা দূৰত্ব
(OB0 = (1200 × 3/2) = 1800 km
∴ ∆ΑΟΒ সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা:
∴ AB² = AO² + OB²
⇒ (AB)² = (1500)² + (1800)²
12. এখন সমতলত দুটা স্তম্ভ, এটা 6m আৰু 11m ওখ, থিয় হৈ আছে। যদি স্তম্ভ দুটাৰ গুৰি দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব 12m, তেন্তে সিহঁতৰ আগ দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান?
উত্তৰঃ
AB স্তম্ভ উচ্চতা = 11 মিটাৰ
CD স্তম্ভ উচ্চতা = 6 মিটাৰ
স্তম্ভ দুটাৰ গুৰিৰ মাজৰ দূৰত্ব (DB) = 12 মিটাৰ
স্তম্ভ আগ দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব (AC) =?
C-ৰ পৰা CE ⏊ AB টনা হ’ল।
∴ BC = DC = 6m
∴ AE = AB – BE = (11 – 6) মিটাৰ = 5 মিটাৰ।
∴ ∆AEC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰাঃ
AC² = AE² + EC² ⇒ AC^ 2
স্তম্ভ দুটাৰ আগে দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব 13 মিটাৰ।
13. ABC ত্রিভুজৰ C কোণ সমকোণ আৰু CA আৰু CB বাহু দুটাত D আৰু E দুটা বিন্দু। প্রমাণ কৰা যে AE² + BD² = AB² + DE²।
উত্তৰঃ
AE, BD আৰু DE সংযোগ কৰা হ’ল।
∆ABC -ৰ পৰা
AB² = AC² + BC²……….(i)
∆ACE -ৰ পৰা
AE² = CE² + AC²……….(ii)
∆BCD -ৰ পৰা
BD² = BC² + CD²……. (iii)
আৰু ∆DCE -ৰ পৰা
DE² = CE² + CD² ………(iv)
(ii) + (iii) ⇒ AE² + BD² = CE2 + AC² + BC² + CD²
⇒ AE² + BD² = (CE² + CD²) + (AC² + BC²)
⇒ AE² + BD² = DE² + AB²
14. ∆ABC ৰ A বিন্দুৰপৰা BC ৰ ওপৰত টনা লম্বই BC ক D বিন্দুত এনেদৰে ছেদ কৰে যে DB = 3CD (চিত্র 6.55 চোৱা)। প্রমাণ কৰা যে 2AB² = 2AC² + BC²।
উত্তৰঃ BD = 3CD
⇒ CD = 1/4 BC
আৰু BD = 3/4 BC
∆ABD ত AB² + BD² + AD² … (1)
∆ACD ত AC² + CD² + AD² … (2)
(2) ৰ পৰা (1) বিয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
AB² – AC² = DB² – CD²
15. ABC সমবাহু ত্রিভুজৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দু যাতে BD = 1/3 BC। প্রমাণ কৰা যে 9AD2 = 7AB²।
উত্তৰঃ
16. প্রমাণ কৰা যে, এটা সমবাহু ত্রিভুজৰ এটা বাহুৰ বৰ্গৰ তিনিগুণ তাৰ এডাল উন্নতিৰ বৰ্গৰ চাৰিগুণৰ সমান।
উত্তৰঃ প্রমাণ: ধৰা হ’ল AB = BC = AC = 2a |
∴ AD ⏊ DC
∴ BD = DC = 1/2 BC = a
∴ ABD সমকোণী ত্রিভুজত,
AB² = AD² + BD²
⇒ (2a)² = AD² + (a)²
⇒ 4a² – a² = AD²
⇒ 3a² = AD²
⇒ AD² = 3a²
⇒ AD² = 3AB/4
⇒ 3AB² = 4AD²
17. শুদ্ধ উত্তৰটোত চিন দিয়া আৰু যুক্তি প্ৰদৰ্শন কৰা।
∆АВС ৰ AB = 6√3 cm, AC = 12cm আৰু BC = 6 cm. এতিয়া B কোণ হ’ব-
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°
উত্তৰঃ (C) 90°
| অনুশীলনী 6.6 |
1. চিত্র 6.56ত, ∠QPR কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক PS। প্রমাণ কৰা যে QS/SR = PQ/PR
উত্তৰঃ
প্রমাণ∴ PS || TR
∴ ∠2 = ∠3 (একাস্থ কোণ)
∴ ∠1 = ∠4 অনুৰূপ কোণ।
আৰু ∠1 = ∠2 (প্রদত্ত)
∴ ∠3 = ∠4
⇒ PR = PT
আকৌ, AQRT ত্রিভূজত,
PS || TR
2. চিত্র 6.57ত, ∆ABCৰ AC অতিভুজৰ ওপৰত D এটা বিন্দু। যদি BD ⏊ AC, DM ⏊ BC আৰু DN ⏊ AB. তেন্তে প্রমাণ কৰা যে-
(i) DM² = DN.MC
(ii) DN² = DM.AN
উত্তৰঃ ধৰা হল – BD ⏊ AC
∴ ∠BDC = 90°
∴ ∠BDM + ∠MDC = 90° …..(i)
ইয়াত,
∆DMC ∠DMC = 90° [∵ DM ⏊ BC, দিয়া আছে ]
⇒ ∠C = MDC = 90° ….(2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা আমি পাওঁ যে-
∠ BDM + ∠ MDC= ∠ C+ ∠ MDC
⇒ ∠ BDM = ∠C
এতিয়া,
∆BMD আৰু ∆MDC
∠BDM = ∠C
∠BMD = ∠MDC
∆BMD ~ ∆MDC
∴ DM/BM = MC/DM
⇒ DM² = BM × MC
⇒ DM² = DN × MC [∴ BM = DN]
সমান্তৰাল ∆NDA ~ ∆NBD
⇒ DN/BN = AN/DN
3. চিত্র 6.58 ত, ABC এটা ত্রিভুজ যাৰ ∠ABC > 90° আৰু AD 1 CB (বর্ধিত)। প্রমাণ কৰা যে, AC² = AB² + BC² + 2BC.BD
উত্তৰঃ B আৰু AD ত অস্পষ্ট কোণৰ সৈতে এটা অস্পষ্ট ত্ৰিভুজ ⏊ CB উৎপাদিত
দেখুওৱা যে AC² = AB² + BC² + 2BC. BD
প্ৰমাণৰ পৰা ∆ADB ত এটা ত্ৰিভুজ সোঁকোণ D.
∴ পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ দ্বাৰা, AB² = AD² + BD² → (1)
আকৌ ∆ADC সোঁকোণ থকা এটা সোঁ ত্ৰিভুজ D.
∴ পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ দ্বাৰা, AC² = AD² + DC²
= AD² + (DB + BC)²
= AD² + DB² + BC² + 2DB.BC
= AB² + BC² + 2DB.BC [By (1)]
Hence, AC² = AB² + BC² + 2BC.DD
4. চিত্র 6.59 ত, ABC এটা ত্রিভুজ যাৰ angle ABC < 90° আৰু AD ⏊ BC প্রমাণ কৰা যে AC² = AB² + BC² – 2BC.BD।
উত্তৰঃ প্রমাণ: ∆ADC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ
AC² = CD² + DA²…………(1)
আকৌ, ADB সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
AB² = AD² + DB²………..(2)
(1)-ৰ পৰা আমি পাওঁ –
AC² = AD² + (CB – BD)²
⇒ AC² = AD² + CB² + BD² – 2CB × BD
⇒ AC² = (BD² + AD²) + CB² – 2CB × BD
⇒ AC² = AB² + BC² – 2BC × BD [ (2) ব্যৱহাৰ কৰি]
5. চিত্র 6.60ত, ABC ত্রিভুজৰ AD এডাল মধ্যমা আৰু AM ⊥ BC। প্রমাণ কৰা যে-
(i) AC² = AD² + BC.DM + (BC/2)²
উত্তৰঃ প্রমাণ AMC ত্রিভুজত,
AC² = AM² + MC²
⇒ AC² = AM² + (MD + DC)²
⇒ AC² = AM² + MD² + DC² + 2MD × DC
⇒ AC² = (AM² + MD²) + (BC/2)² + 2MD(BC/2)²
⇒ AC² = AD² + BC × MD + BC²/2
[AMD সমকোণী ত্রিভুজত, AD² = AM² + MD²]
⇒ AC² = AD² + BC × MD + BC²/4 [প্রমাণিত]……….(α)
(ii) AB² = AD² – BC.DM + (BC/2)²
উত্তৰঃ AMB সমকোণী ত্রিভুজত পৰা-
AB² = AM² + BM²
= AM² + (BD – MD)²
= AM² + BD² + MD² – 2BD × MD
= (AM² + MD²) + BD² – 2(1/2 BC) MD
= AD² + (1/2 BC)² – BC. MD [∴∆AMD = AD² = AM² + MD²]
AB² = AD² + (BC/2)² – BC.MD [প্রমাণিত] …….. (b)
(iii) AC² + AB² – 2 AD² + 1/2 BC²
উত্তৰঃ (a) + (b) কৰি পাওঁ –
AB² + AC² = AD² + (BC/2)² – BC.MD
= 2AD² + BC²/4 + BC²/4
= 2AD² + 2BC²/4
⇒ AB² + AC² = 2AD² + 2 BC²/4 [প্রমাণিত]
6. প্রমাণ কৰা যে এটা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ বৰ্গৰ যোগফল তাৰ বাহুকেইডালৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান।
উত্তৰঃ
ABCD এটা সমান্তৰাল চতুৰ্ভুজ ∠B উদাৰ আৰু ∠A তীক্ষ্ণ।
তেন্তে (AC)² = (AB)² + (BC)² + 2BC BE ……..(1)
আৰু (BD)² = (AB)² + (AD)² – 2AD AF………..(2)
কিন্তু,
BC = AD [∴ বিপৰীত দিশৰ পাৰ্শ্ববোৰ সমান]
সেইদৰে ∆ADF and ∆BCF
AD = BC ∠AFD = ∠BEC [প্ৰত্যেকেই 90°]
∠DAF = ∠CBE [সমান্তৰ ∠…. যিহেতু AD || BC আৰু ABE হৈছে এটা ট্ৰেন্সভাৰ্চেল]
∴ ∆ADF ≅ ∆BCE ∴ AF = BE (C.P.C.T)
∴ 2BC .BE ≅ 2AD.AF[∵ BC = AD, BE = AF]
(1) আৰু (2) -ৰ পৰা আমি পাওঁ যে-
AC² = AB² + BC² + 2BC.BE
BD² = AB² + AD² -2BC.BE
যোগ কৰাৰ পিছত
AC² + BD² = AB² + BC² + AB² + AD² = AB² + BC² + DC² + AD² [ ∵ AB = DC ]
7. চিত্র 6.61ত, AB আৰু CD জ্যা দুডালে পৰস্পৰক P বিন্দুত ছেদ কৰে। প্ৰমাণ কৰা যে,
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP.PB = CP.DP
উত্তৰঃ ∆APC আৰু ∆DPB -ত
∠CAP = ∠PDB [একে চাৰ্কিটৰ কোণ]
∠ACP = ∠PBD [একে চাৰ্কিটৰ কোণ]
∠APC = ∠BPD [প্ৰতিস্বাভিমুখী কোণ]
∴ ∆APC and ∆DPD [সাদৃশ্য সমকোন]
সেয়েহে ∆APC ~ ∆DPB প্ৰমাণিত। (i)
∴ AP/DP = CP/PB [সমান কোণৰ বিপৰীত দিশৰ বাহুবোৰ সমানুপাতি]
⇒ AP. PB = CP. DP প্ৰমাণিত। (ii)
8. চিত্র 6.62ত, এটা বৃত্তৰ AB আৰু CD জ্যা দুডালে পৰস্পৰৰ্ক P বিন্দুত (যেতিয়া বঢ়াই দিয়া হয়) বৃত্তটোৰ বাহিৰত ছেদ কৰে। প্ৰমাণ কৰা যে
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD
উত্তৰঃ ∆PAC আৰু ∆PDB-ত
∠PAC = ∠PDB
[যিহেতু ∠PAC + ∠CAB = 180° = ∠CAB + ∠CDB ⇒ ∠PAC = ∠CDB = ∠PDB
একেদৰে, ∠APC = ∠BPD
∴ তৃতীয় কোন = তৃতীয় কোণ
∴ ∆PAC আৰু ∆PDB সাদৃশ্য সমকোণী
সেয়ে ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) যিহেতু ∆PAC ~ ∆PDB
সম্পৰ্কিত বহুগুলি সমানুপাতিক
PC/PB = PA/PD ⇒ PA. PB = PC.PD
9. চিত্র 6.63ত, ∆ABC ৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দু যাতে BD/CD = AB/AC প্রমাণ কৰা যে AD ৰেখাডাল ∠BAC কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক।
উত্তৰঃ
প্রমাণ: BCE ত্রিভুজত AD || CE
কিন্তু, AB/AE
∴ BD/DC = AB/AE
∴ AB/AE = AC/AB ⇒ AE/AB = AC/AB ⇒ AE/AC
∆ACE ৰ পৰা আমি পাওঁঃ
AE = AC ⇒ ∠3 = ∠4
∴ CE || DA, AC ছেদক
∴ ∠2 = ∠4 [একাহৰ কোণ]
আকৌ, CE || DA, BAE ছেদক
∴ ∠1 = 3
∴ ∠3 = ∠4
⇒∠1 = ∠4 ⇒∠1 = ∠2
∴ AD বেখাডাল ∠BAC -ৰ সমদ্বিখণ্ডক। [প্রমাণিত ]
10. নাজমাই এটা জুৰিত বৰশী বাই আছে। তাইৰ বৰশীৰ চিপটোৰ আগটো পানীৰ উপৰিভাগৰ পৰা 1.8m ওপৰত আছে। বৰশীৰ পুঙা (fly) টো বৰশীৰ সূতাডালৰ আনটো মূৰত লাগি আছে আৰু ই এনেভাবে পানীত ওপঙি আছে যে ইয়াৰ দূৰত্ব। তাইৰপৰা 3.6m আঁতৰত আৰু বৰশীৰ চিপটোৰ আগটোৰ ঠিক তলতে থকা পানীৰ ওপৰৰ বিন্দু এটাৰপৰা 2.4m আঁতৰত। যদি ধৰা হয় যে বৰশীৰ সূতাডাল (চিপটোৰ আগৰ পৰা পুঙাটোলৈকে) টনটনীয়া (অর্থাৎ ভাঁজ নথকা) হৈ আছে, তেন্তে সূতাডালৰ কিমানখিনি ওলাই আছে (চিত্র 6.64 চোবা)? যদি তাই সূতাডাল প্রতি চেকেণ্ডত 5 cm কৈ টানি থাকে তেন্তে 12 ছেকেণ্ড পিচত পুঙাটোৰ অনুভূমিক দূৰত্ব তাইৰপৰা কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ (i) এটা সমকোণী ∆ABC ত,
AB = 1.8 m, BC = 2.4 m
∴ AC² = AB² + BC²
AC² = (1.8)² + (2.4)²
= 3.24 + 5.75 = 9 ⇒ AC = √9 = 3m
সেয়ে, মাকু AC-ৰ মূল দৈৰ্ঘ্য (টান হ’লে) 3m
(ii) যেতিয়া নাজিমাই 5 cm/sec হাৰত মাকুটো টানে।
তেতিয়া মাকুটোৰ দৈৰ্ঘ্য হ্ৰাস পায় = 5 × 12 = 60 চেণ্টিমিটাৰ = 0.6m 12sec
∴ মাকুটোৰ অবশিষ্ট দৈৰ্ঘ্য (AD) 12sec টানাৰ পিছত
= (3 – 0.60) = 2.40m
⇒ AD = 2.4m
এতিয়া সমকোণী ∆ABD ত
AD² + DB² + AB² ⇒ DB²
= AD² – AB²
= (2.40)² – (1.80)²
= 2.52cm
∴ DB = √2.52m
= 1.587 = প্ৰায় 1.59m
নাজিমাৰ পৰা মাছৰীটোৰ আৱলম্বিক দূৰত্ব (DE) = (1.59 + 1.2)m = 2.79m
| অনুশীলনী – 6.1 |
1. কাষৰ বন্ধনীত দিয়া শুদ্ধ শব্দৰ সহায়ত খালী ঠাই পূৰ কৰা-
(i) সকলোবোৰ বৃত্তই ____________ (সর্বসম, সদৃশ)।
উত্তৰঃ সকলোবোৰ বৃত্তই সদৃশ।
(ii) সকলোবোৰ বৰ্গই ____________ (সদৃশ, সর্বসম)।
উত্তৰঃ সকলোবোৰ বৰ্গই সদৃশ।
(iii) সকলো ___________ ত্রিভুজ সদৃশ (সমদ্বিবাহু, সমবাহু)।
উত্তৰঃ সকলো সমবাহু ত্রিভুজ সদৃশ।
(iv) সমসংখ্যক বাহু থকা দুটা বহুভুজ সদৃশ হ’ব যদিহে (a) সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবিলাক ____________ আৰু (b) সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহু বিলাক ____________(সমান, সমানুপাতিক)।
উত্তৰঃ সমসংখ্যক বাহু থকা দুটা বহুভুজ সদৃশ হ’ব যদিহে (a) সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবিলাক সমান আৰু (b) সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহু বিলাক সমানুপাতিক।
2. তলত উল্লেখ কৰা বিলাকৰ দুটা ভিন্ন উদাহৰণ দিয়া:
(i) এযোৰ সদৃশ চিত্ৰৰ।
উত্তৰঃ (1) সকলো সমবাহু সদৃশ চিত্র আৰু (2) দুটা বর্গ সদৃশ চিত্র।
(ii) এযোৰ অসদৃশ চিত্ৰৰ।
উত্তৰঃ (1) এটা ত্রিভুজ আৰু চতুর্ভুজ অসদৃশ চিত্র। আৰু (2) এটা বৰ্গ আৰু এটা বম্বাচ অসদৃশ চিত্র।
প্রশ্ন 3. তলত দিয়া চতুর্ভুজ দুটা সদৃশ হয়নে নহয় উল্লেখ কৰা-
উত্তৰঃ চতুর্ভুজ দুটা সদৃশ নহয়। কাৰণ সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবোৰ সমান নহয়।
| অনুশীলনী 6.2 |
1. চিত্ৰ 6.17ৰ (i) আৰু (ii)ত, DE || BC. এতিয়া (ⅰ) ৰ পৰা EC আৰু (ii) ৰ পৰা AD উলিওৱা।
উত্তৰঃ ∆ABC – DE BC [দিয়া আছে]
∴ AD/BD = AE/EC [সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ 15/3 = 1/EC
⇒ EC = 3/15
∴ EC = 20 ছে.মি.।
(i) ∆ΑΒC – DE [] BC [দিয়া আছে]
∴ AD/BD = AE/EC
⇒ AD/7.2 = 1.5/5.4
2. ΔPQR ৰ PQ আৰু PR বাহুৰ ওপৰত ক্ৰমে E আৰু F দুটা বিন্দু। তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্রতে EF || QR হয়নে উল্লেখ কৰা-
(i) PE = 3.9cm EQ = 3cm PF = 3.6cm আৰু FR = 2.4cm
উত্তৰঃ E আৰু F যথাক্রমে APQR-ব PQ আৰু PR-বাহুৰ ওপৰত অবস্থিত দুটা বিন্দু।
দিয়া আছেঃ
PE = 3.9CE ., EQ = 3 ছে.মি.।
PF = 3.6 ছে মি, FR = 2.4 ছে.মি.।
∴ EF, QR-ব সমান্তৰাল নহয়।
(ii) PE = 4cm QE = 4.5cm , PF = 8cm আৰু RF = 9cm
উত্তৰঃ
(iii) PQ = 1.28cm PR = 2.56cm , PE = 0.18 cm আৰু PF = 0.36cm
উত্তৰঃ প্রদত্তঃ
PQ = 1 ছে.মি., PR = 2 ছে.মি.।
PE = 0.18 ছে.মি., RF = 0 ছে.মি.।
∴ ER = PR – PF = 2.56 – 0.36 = 2.20 ছে.মি.।
PE = 0.18 ছে.মি., RF = 0 ছে.মি.।
3. চিত্র 6.18ত, যদি LM || CB আৰু LN || CD, প্রমাণ কৰা যে AM/AB AN/AD
উত্তৰঃ
4. চিত্র 6.19ত, DE || AC আৰু DF || AE. প্রমাণ কৰা যে BF/BE = FE/EC
উত্তৰঃ
5. চিত্র 6.20ত, DE || OQ আৰু DF || OR। দেখুওৱা যে EF || QR.
উত্তৰঃ (i) প্রদত্ত: ∆PQR-ৰ DE || OQ আৰু DF || OR
(ii) প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে –
EF || QR
(iii) প্রমাণ: ∆PQO-ৰ ED || QO (প্রদত্ত)
∴ PD/DO = PE/EQ ………..(1)
আকৌ, ∆POR-ৰ DF || OR (প্রদত্ত)
∴ PD/DO = PF/FR …………(2)
(1) আৰু (2)-ৰ পৰা পোৱা যায় যে-
PE/EQ = PF/FR ⇒ EF || QR [প্রমাণিত]
6. চিত্র 6.21ত, A, B আৰু C বিন্দু তিনিটা ক্রমে OP, OQ আৰু OR ৰ ওপৰত আছে যাতে AB || PQ আৰু AC || PR. দেখুওৱা যে, BC || QR
উত্তৰঃ প্রদত্ত: A, B আৰু C আৰু OP, OQ আৰু OR বিদত্রয় ক্রমে আৰু বাহু তিনিটাৰ ওপৰত এনেদৰে স্থাপন কৰা হৈছে
যাতে AB || PQ আৰু AC || PR হয়।
প্রামাণ্য: BC || QR
প্রমাণ: OPQ ত্রিভুজৰ AB || PQ (প্রদত্ত)
∴ OA/AP = OB /BQ …………….. (1)
আকৌ, OPR ত্রিভুজৰ AC || PR(প্রদত্ত)
∴ OA/AP = OC/CR …………….(2)
এতিয়া, (1) আৰু (2) ৰ পৰা
OB/BQ = OC/CR
∴ BC || QR [প্রমাণিত]
7. উপপাদ্য 6.1ৰ সহায়ত প্রমাণ কৰা যে এটা ত্রিভুজৰ এটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰে যোৱাকৈ টনা ৰেখাডাল যদি আন এটা বাহুৰ সমান্তৰাল হয়, তেনেহ’লে ৰেখাডালে তৃতীয় বাহুটোক দ্বিখণ্ডিত কৰিব। (মনত পোলোৱা, এইটো তোমালোকে নৱম শ্ৰেণীত প্ৰমাণ কৰিছিলা)
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: D, ABC ত্রিভুজৰ AB-ৰ মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ AD = DB। এটা ৰেখা, BC-ৰ সমাদৰাল কৰি অংকন কৰাতে, ই AC-ক E বিন্দুত ছেদ কৰে। অর্থাৎ DE BC
(ii) প্রামাণ্য: E, AC-ৰ মধ্যবিন্দু।
(iii) প্রমাণ:
∴ D, AB -ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ AD = DB (প্রদত্ত)
∴ AD/ BD ……………… (1)
আকৌ, ABC ত্রিভুজৰ DE || BC
∴ AD/DB = AE/EC ……….. (2)
∴ (1) আৰু (2)-ৰ পৰা পাওঁ –
AE/EC = 1
⇒ AE = EC
∴ E, AC-ৰ মধ্যবিন্দু। [প্রমাণিত]
8. উপপাদ্য 6.2ৰ সহায়ত প্রমাণ কৰা যে এটা ত্রিভুজৰ দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাডাল তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল। (মনত পেলোৱা, এইটো তোমালোকে নৱম শ্ৰেণীত প্রমাণ কৰিছা)
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABC ত্রিভুজৰ AB আৰু AC বাহু দুটাৰ ওপৰত D আৰু E দুটা মধ্যবিন্দু এনেদৰে স্থাপন কৰা হ’ল, যাতে AD = BD আৰু AE = EC হয়। D আৰু E সংযোগ কৰা হ’ল।
(ii) প্রামাণ্য: DE || BC-ৰ মধ্যবিন্দু।
(iii) প্রমাণ: D, AB -ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ AD = DB
9. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু ইয়াৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ O বিন্দুত ছেদিত হয়। দেখুওৱা যে AO/BO = CO/DO
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC. AC আৰু BD কর্ণ দুডাল পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দু ছেদ কৰিছে।
(ii) প্রামাণ্য: = DO/OB = OC/OA
(iii) অংকন: O বিন্দুৰ মাজেৰে, FO || DC || AB টনা হ’ল।
(iv) প্রমাণ: DAB ত্রিভুজৰ FO || AB [অংকন মতে]
10. ABCD চতুর্ভুজটোৰ কৰ্ণদুডালে পৰস্পৰক ০ বিন্দুত এনেভাবে ছেদ কৰে যে AO/BO = CO/DO দেখুওৱা যে ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম।
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABCD এটা চতুর্ভুজ। ইয়াৰ AC আৰু BD কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দুত এনেদৰে ছেদ বা কটাকটি কৰে যাতে, AO/BO = CO/DO হয়।
(ii) প্রামাণ্য: ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম।
(iii) অংকন: O বিন্দুৰ মাজেৰে,
EO || AB টনা হ’ল আৰু ই AD বাহুক E বিন্দুত ছেদ কৰে।
(iv) প্রমাণ: ∆DAB -ৰ ΕΟ || ΑΒ
∴ ABCD চতুর্ভুজটো এটা ট্রেপিজিয়াম। [প্রমাণিত]
| অনুশীলনী 6.3 |
1. চিত্র 6.34 ত দিয়া ত্রিভুজবিলাকৰ কোণবিলাক যোৰ সদৃশ উল্লেখ কৰা। উত্তৰটো দিয়াৰ ক্ষেত্ৰত কি সাদৃশ্য চৰ্ত ব্যৱহাৰ কৰিলা লিখা আৰু সদৃশ হোৱা ত্রিভুজবিলাক প্রতীকেৰে প্ৰকাশ কৰা।
উত্তৰঃ ∆ABC আৰু ∆PQR দুটাৰ,
∠A = ∠P [প্রতিটো কোণ = 60°]
∠B = ∠Q [প্রতিটো কোণ = 80°]
আৰু, ∠C = ∠R [ প্রতিটো কোণ = 40°]
∆ABC ∠PQR [ A – A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
উত্তৰঃ ∆ABC আৰু ∆PQR দুটাৰ,
AB/RQ = 2/4 = 1/2 …………..(1)
AC/PQ = 3/6 = 1/2 …………..(2)
BC/PR = 2.5/5 = 1/2 …………..(3)
(1), (2) আৰু (3)-ৰ পৰা পাওঁ-
AB/RQ = AC/PQ = BC/PR = 1/2
∴ ∆ABC ~ ∆QRP [S – S – S সাদৃশ্য উপপাদ্য]
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ ∆DEF – ৰ পৰা-
∠D = 70°, ∠E = 80°
∴ ∠D+ ∠E + ∠F – 180°
⇒ 70° + 80° + ∠F=180° [: এটা ত্রিভুজৰ তিনিটা কোণৰ সমষ্টি = 180°]
⇒ 150° + ∠F = 180°
⇒ ∠F = 180° – 150° = 30°
আকৌ, ∆PQR-ৰ পৰা –
∠Q = 80° ∠R = 30°
∴ ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
⇒ ∠P + 80° + 30° = 180°
⇒ ∠P + 180° – 110° = 70°
∆DEF আৰু ∆PQR দুটাৰত,
∠D = ∠P = 70°
∠E = ∠Q = 80°
∠F = ∠R = 30°
∆DEF – ∆PQR [ A – A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]।
2. চিত্র 6.35 ত, ∆ODC ~ ∆ΟΒΑ, ∠BOC = 125° আৰু ∠CDO = 70° | ∠DOC, ∠DCO আৰু ∠OAB নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্রদত্ত:
∠BOC = 125°, ∠CDO = 70°
∠DOC =?, DCO =?, ZOAB = ?
∴ DOB এটা সৰলৰেখা।
∴ ∠DOC + ∠COB = 180° [ৰৈখিৰ যোৰৰ স্বতঃসিদ্ধ]
⇒ ∠DOC + 125° = 180°
⇒ ∠DOC + 180° – 125° = 55°
∴ ∠DOC+ ∠AOB = 55° [বিপ্রতীপ শীর্ষক কোণ]
কিন্তু, ∆ODC ~ ∆ΟΒΑ
∴ ∠D= ∠B = 70°
∆DOC – ৰ পৰা-
∠D+ ∠O + ∠C = 180°
⇒ 70° + 55° ∠C = 180°
⇒ ∠C = 18° – 125° = 55°
3. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু AC আৰু BD কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰক O বিন্দুত ছেদ কৰে। দুটা ত্ৰিভুজৰ কোনো সাদৃশ্য চৰ্ত ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে OA/OC = OB/OB
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB | DC আৰু কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দুত ছেদ কৰে।
(ii) প্রামাণ্য: AO/OC = OB/OD
(iii) প্রমাণ:
∴ AB || DC, AC আৰু DB দুটা ছেদক।
∴ ∠r = ∠2 [একান্তৰ কোণ]
∠5 = ∠6 [বিপৰীত শীর্ষক কোণ]
আৰু ∠3 = ∠4 [একাহৰ কোণ]
∴ ∆DOC ~ ∆BOB [A – A – A] উপপাদ্য।
∴ DO/BO = OC/OA
⇒ DO/OC = BO/DO [প্রমাণিত]
4. চিত্র 6.36 ত, QR/QS = QT/PR আৰু ∠1 = ∠2 দেখুওৱা যে ∆PQS ~ ∆TQR
উত্তৰঃ
5. ∆PQR ৰ PR আৰু QR বাহুৰ ওপৰত S আৰু T দুটা বিন্দু যাতে ∠P = ∠RTS. দেখুওৱা যে ∆RPQ ~ ∆RTS.
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ∆PQR-ৰ PR আৰু QR বাহুদ্বয়ৰ ওপৰত দুটা বিন্দু S আৰু T’ এনেদৰে স্থাপন কৰা আছে যাতে∠P = ∠RTS
(ii) প্রামাণ্য: ∆RPQ ~ ∆RTS
(iii) প্রমাণ: ∆RPQ আৰু ∆RTS-ৰ পৰা
∠RPQ = ∠RTS (প্রদত্ত)
∠R = ∠R (সাধাৰণ কোণ)
∴ ∆RPQ ~ ∆RTS [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য] (প্রমাণিত)
6. চিত্র 6.37ত যদি ∆ABE ≅ ∆ACD দেখুওৱা যে ~ ∆ADE ~ ∆ABC
উত্তৰঃ (i) বিশেষ সূত্র: ∆ABE ≅ ∆ACD
(ii) প্রামাণ্য: ∆ADE ~ ∆ABC
(iii) প্রমাণ:
∴ ∆ABE ≅ ∆ACD
∴ AB = AC আৰু AE = AD
∴ AB/AC = ………….(1)
আৰু AE/AD 1 = ………….(2)
এতিয়া, (1) আৰু (2)-ৰ পৰা-
AB/AC = AD/AE
∴ ∆ADE আৰু ∆ABC -ৰ পৰা-
AD/AE = AB/AC ∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∴ ∆ADE ~ ∆ABC | SAS সাদৃশ্য উপপাদ্য] (প্রমাণিত)
7. চিত্র 6.38ত ∆ABC ৰ AD আৰু CE উন্নতি দুডালে পৰস্পৰক P বিন্দুত ছেদ কৰে। দেখুওৱা যে-
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
উত্তৰঃ AEP আৰু CDP ত্রিভুজ দুটাৰ পৰা
∠E = ∠D = 90°
∠APE = ∠CPD [বিপ্রতীপ শীর্ষক কোণ]
∴ ∆AEP ~ ∆CDP [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
উত্তৰঃ ABD আৰু CBE ত্রিভুজৰ
∠D = ∠E = 90°
∠B = ∠B [সাধাৰণ কোণ]
∴ ∆ABD ~ ∆CBE [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
উত্তৰঃ ∆AEP আৰু ∆ADB ত্রিভুজৰ
∠E = ∠D = 90°,
∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∴ ∆AEP ~ ∆ADB [A – A] সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC
উত্তৰঃ ∆PDC আৰু ∆BEC ত্রিভুজৰ
∠D = ∠E = 90°
∠C = ∠C [সাধাৰণ কোণ]
∴ ∆PDC ~ ∆BEC [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
8. ABCD সামান্তৰিকৰ AD বাহুৰ বৰ্ধিত অংশত E টা বিন্দু আৰু BE ৰেখাই CD ক F বিন্দুত ছেদ কৰে। দেখুওৱা যে ∆ΑΒΕ ~ ∆CFB।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABCD এটা সামাচ্ছবিক। AD বাহুক E লৈ বর্ধিত কৰা হল। BE বাহু, DC বাহুক F বিন্দুত ছেদ কৰে
প্রমাণ: ABE আৰু CFB ত্রিভুজ দুটাৰ পৰা পোৱা যায়-
∠A = ∠C [সামাহৰিক বিপৰীত কোণ]
আৰু ∠ABE = ∠CFB [একাস্থ কোণ]
∴ ∆ABE ~ ∆CFB [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
9. 6.39 চিত্ৰত ABC আৰু AMP দুটা সমকোণী ত্রিভুজ। ইহঁতৰ সমকোণ দুটা ক্রমে B আৰু M। প্রমাণ কৰা যে-
(i) ∆АВС ~ ∆ΑΜΡ
উত্তৰঃ বিশেষ সূত্র: ABC আৰু AMP দুটা সমকোণী ত্রিভুজ। সিহঁতৰ ∠B = 90° আৰু ∠M = 90°
প্রমাণঃ ∆ABC আৰু ∆AMP ত্রিভুজ দুটাৰ পৰা পোৱা যায় যে-
∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∠B = ∠M = 90°
∴ ∆ABC ~ ∆AMP
[A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(ii) CA/PA = BC/MP
উত্তৰঃ ∴ ∆ABC ~ ∆AMP
∴ AC/AP = BC/MP
⇒ CA/PA = BC/MP [প্রমাণিত]
10. ∆ABC আৰু ∆EFG ৰ AB আৰু FE বাহুত ক্রমে D আৰু H দুটা বিন্দু। CD আৰু GH ক্রমে ∠ACB আৰু ∠EGF সমদ্বিখণ্ডক। যদি ∆ABC sim ∆FEG দেখুওৱা যে-
(i) CD/GH = AC/FG
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABC আৰু EFG ত্রিভুজব CD আৰু GH, ∠ACB আক ∠EGF ব সমদ্বিখণ্ড কছয়।
অর্থাৎ, ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 আৰু ∆ABC ~ ∆FEG
(i) ∴ ∆ABC ~ ∆FEG
∴ ∠A = ∠F; ∠B = ∠E
আৰু ∠C = ∠G
∴ ∠C = ∠G
⇒ 1/2 ∠C = 1/2 ∠G
⇒ ∠2 = ∠4 অথবা ∠1 = ∠3
এতিয়া, ∆ACD আৰু ∆FGH ত্রিভুজ দুটাত
∠A = ∠F আৰু ∠2 = 24
∆ABC ~ ∆FEG [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ CD/GH = AG/FG [প্রমাণিত]
(ii) ∆DCB আৰু ∆HGE ত্রিভুজ দুটাত
∠B= ∠E; ∠1 = ∠3
∴ ∆DCB ~ ∆HGE [AA সাদৃশ্য উপপাদ্য]
(iii) ∆DCA আৰু ∆HGF ত্রিভুজ দুটাত পৰা
∠A = ∠F; ∠2 = ∠4
∴ ∆DCA ~ ∆HGF [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
11. চিত্র 6.40ত, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ AB = AC আৰু CB ৰ বৰ্ধিত অংশত E এটা বিন্দু। যদি AD ⏊ BC আৰু EF ⏊ AC, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে ∆ABD ~ ∆ECF
উত্তৰঃ ∆ABD আৰু ∆CEF
∠CFE = ∠ADC সমকোণ
∠ABD = ∠ECF (সমদ্বিবাহু ত্রিভূজৰ বিপৰীত কোণ)
∴ ∆ABD ~ ∆ECF
12. ABC ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহু AB আৰু BC আৰু মধ্যমা AD ৰ লগত PQR ত্ৰিভুজৰ ক্রমে দুটা বাহু PQ আৰু QR আৰু মধ্যমা PM সমানুপাতিক। (চিত্র 6.41 চোৱা)। দেখুওৱা যে ∆ABC ~ ∆PQR.
উত্তৰঃ দিয়া আছে:
AB/PB = BC/QR = AD/PM …………(i)
BD = 1/2 BC
⇒ 2BD = BC
আৰু QM = 1/2 QR
⇒ 2QM = QR
(i) ⇒ AB/PQ = BC/QR = AD/PM
⇒ AB/PQ = 2BD/2QM = AD/PM
⇒ AB/PQ = BD/QM = AD/PM
∴ ∆ABC ~ ∆PQM
∴ ∠B = ∠Q
এতিয়া, AB/PQ = BC/QR
আৰু ∠B = ∠Q
∴ ∆ABC ~ ∆PQR
13. ABC ত্রিভুজৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দু আৰু ∠ADC = ∠BAC. দেখুওৱা যে CA² = CB.CD
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABC ত্রিভুজৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দুটো এনেদৰে স্থাপন কৰা হৈছে।
যাতে ∠ADC = ∠BAC হয়।
প্রমাণ: ∆ABC আৰু ∆ADC ত্রিভুজ দুটাত ∠C= ∠C (সাধাৰণ)
∠BAC = ∠ADC (প্রদত্ত)
∴ ∆ACD ~ ∆DAC [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ AC/DC = BC/AC
⇒ AC² = BC × DC [প্রমাণিত]
14. ত্রিভুজ ABC ৰ দুটা বাহু AB আৰু AC আৰু মধ্যমা AD আন এটা ত্রিভুজ PQR ৰ ক্ৰমে দুটা বাহু PQ আৰু PR আৰু মধ্যমা PM ৰ লগত সমানুপাতিক। দেখুওৱা যে ∆ABC ~ ∆PQR
উত্তৰঃ AD বাহুক E বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল।
এতিয়া, AD = DE আৰু CE সংযোগ কৰা হ’ল।
আকৌ, PM ক S বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল।
এতিয়, PM = MS আৰু RS সংযোগ কৰা হ’ল।
এতিয়া,
∆ADB আৰু ∆EDC ৰ
∠ADB = ∠EDC
BD = CD
আৰু AD = DE
∴ ∆DBA ≅ ∆EDC
∴ AB = CE
আকৌ ∆PMQ আৰু ∆SMR ৰ
∠PMQ = ∠SMR
PM = MS
আৰু QM = MR
∴ ∆PMQ ∆SMR
∴ PQ = SR
এতিয়া AB/PQ = AC/PR = AD/PM
⇒ CE/SR = AC/PR = AD/PM
∴ ∆ACD ~ ∆PSR ∠EAC = ∠SPR …………(i)
একেদৰে এতিয়া ∠DAB = ∠MPQ………..,(ii)
এতিয়া (i) + (ii) ⇒ ∠EAC + ∠DAB = ∠SPR + ∠MPQ
⇒ ∠A = ∠P
∆ABC আৰু ∆PQR ৰ পৰা
∴ AB/PQ = AC/PR
আৰু ∠A = ∠P
∆ABC ~ ∆PQR
15. 6 m ওখ এটা উলম্ব খুটাৰ ভূমিত হোৱা ছাঁৰ দীঘ 4 m আৰু একে সময়তে এটা টাৱাৰৰ ছাঁৰ দীঘ 28 m। টাৱাৰটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
উল্লম্ব খুটাৰ দৈর্ঘ্য = 6 মি.
খুটাৰ ছাঁৰ দৈর্ঘ্য = 4 মি.
ধৰা হ’ল টাৱাৰ উচ্চতা = H মি.
টাৱাৰৰ ছাঁৰ দৈর্ঘ্য = 28 মি.
এতিয়া, ∆ABC আৰু ∆PNM-ৰ পৰা
∠C = ∠N = 90°;
∠B = ∠M
∴ ∆ABC ~ ∆PNM [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ AB/PM = BC/MN
⇒ 6/H = 4/2
⇒ H = 6 × 28/4 = 6 × 7 = 42
∴ টাৱাৰৰ উচ্চতা = 42 মিটাব (উত্তৰ)
16. ABC আৰু PQR ত্রিভুজ দুটাৰ মধ্যমা ক্রমে AD আৰু PM। যদি ∆ABC ~ ∆PQR, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে AB/PQ = AD/PM
উত্তৰঃ বিশেষ সূত্র: AD আৰু PM ক্রমে ABC আৰু PQR ত্রিভুজ দুটাৰ
মধ্যমাদ্বয় আৰু ∆ABC ~ ∆PQR
∴ ∆ABC ~ ∆PQR
∴ AB/PQ = BC/QR = AC/PR
∴ ∠A = ∠P; ∠B = ∠Q; ∠C = ∠R
∴ D, BC-ৰ মধ্যবিন্দু
∴ BD = DC = 1/2 BC ………….. (1)
আকৌ, ∴ M, QR -ৰ মধ্যকিদু
QM = MR = 1/2 QR ………….(2)
∴ AB/PQ = BC/QR
⇒ AB/PQ = 2BD/2QM [(1) আৰু (2) – ৰ পৰা]
⇒ AB/PQ = BD/QM
∠ABD ~ PQM [ প্রদত্ত ]
∆ABC ~ ∆PQM [S – A – S সাদৃশ্য উপপাদ্য ]
∴ AB/PQ = BC/QR [প্রমাণিত]
| অনুশীলনী 6.4 |
1. ধৰা ∆ABC ~ ∆DEF আৰু সিহঁতৰ কালি ক্রমে 64 cm² আৰু 121 cm² | যদি EF = 15.4 cm, BC উলিওৱা।
উত্তৰঃ
2. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰক O বিন্দুত ছেদ কৰে। যদি AB = 2 CD, AOB আৰু COD ত্রিভুজৰ কালিৰ অনুপাত উলিওৱা।
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্র: ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দুত ছেদ কৰে। আৰু AB = 2CD।
AOB ত্রিভুজৰ কালি আৰু ত্রিভুজৰ কালিৰ অনুপাত নির্ণয় কৰিব লাগে।
∆AOB আৰু ∆COD ত্রিভুজ দুটাত
∠1 = ∠2 [একান্তৰ কোণ]
∠3 = ∠4 [একান্তৰ কোণ]
আৰু ∠5 = ∠6 [বিপ্রতীপ শীর্ষক কোণ]
∴ ∆AOB ~ ∆COD [A – A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
∴ ∆AOB -ৰ কালি: ∆COD -ৰ কালি = 4:1 নির্ণেয় অনুপাত।
3. চিত্র 6.44ত, একে ভূমি BC ৰ ওপৰত ABC আৰু DBC দুটা ত্রিভুজ। যদি AD য়ে BCক O বিন্দুত ছেদ কৰে তেন্তে দেখুওৱা যে, ar(ABC))/ar(DBC) = AO/DO
উত্তৰঃ AE ⏊ BC আৰু DF ⏊ BC আঁকা হ’ল।
∠AEO = ∠DFO = 90°
∆AOE আৰু ∆DOF ৰ
∠AEO = ∠DFO = (90°)
∠AOE = ∠DOF (বিপ্রতীপ কোণ)
∴ ∆AOE ~ ∆DOF
∴ AE/DF = AO/DO ………….(i)
আকৌ
4. যদি দুটা সদৃশ ত্রিভুজৰ কালি সমান, প্ৰমাণ কৰা যে সিহঁত সর্বসম।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ∆ABC ~ ∆DEF আৰু সিহঁতৰ কালি সমান।
প্রমাণ: ∴ ∆ABC ~ ∆DEF
∆ABC-ৰ কালি/∆DBC-ৰ কালি = BC²/EF²
⇒ BC²/EF² = 1
∴ [∆ABC ~ ∆DEF]
⇒ BC² = EF²
⇒ BC = EF
আকৌ, ∆ABC ~ ∆DEF
∴ ∠B = ∠E; ∠C = ∠F আৰু BC = EF
∆ABC ≅ ∆DEF [A – S – A স্বীকার্য্য মতে] (প্রমাণিত)
5. ∆АВСৰ AB, BC আৰু CA বাহুৰ মধ্যবিন্দু ক্রমে D, E আৰু F। ∆DEF আৰু ∆ABCৰ কালিৰ অনুপাত উলিওৱা।
উত্তৰঃ DE || AC আৰু DF || BC
∆ABC আৰু ∆DEF ৰ
∠DEF = ∠BAC
∠EDF = ∠ACB
∴ ∆ABC ~ ∆DEF ৰ
6. প্রমাণ কৰা যে দুটা সদৃশ ত্রিভুজৰ কালিৰ অনুপাত সিহঁতৰ অনুৰূপ মধ্যমা দুডালৰ অনুপাতৰ বৰ্গৰ সমান।
উত্তৰঃ
∆ABC~ ∆PQR
আৰু ∆ABC ৰ AD সমদ্বিখণ্ডক
আৰু APQR ৰ PS সমদ্বিখণ্ডক
∆ABD আৰু ∆PQS ৰ
∠ADB = ∠PSQ (90°)
∠BAD = ∠QPS (LA = ∠P)
∴ ∆ABD ~ ∆PQS
∴ AB/PQ = AD/PS …………..(i)
আকৌ, ∆ABC~ ∆PQR
7. প্রমাণ কৰা যে এটা বৰ্গৰ এটা বাহুৰ ওপৰত গঠিত এটা সমবাহু ত্রিভুজৰ কালি বৰ্গটোৰ এটা কৰ্ণৰ ওপৰত গঠিত সমবাহু ত্রিভুজটোৰ কালিৰ আধা।
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল ABCD বৰ্গৰ বাহু = a
AC কৰ্ণৰ দৈর্ঘ্য √a² + a² = √2a
∆PAB, AB বাহুৰ ওপৰত অৱস্থিত আৰু ∆QAC, AC কৰ্ণৰ ওপৰত অৱস্থিত।
∆PAB ~ ∆QAC [AAA সদৃশতা স্বীকার্য প্রত্যেক ∠ = 60°]
শুদ্ধ উত্তৰটোত (√) চিন দিয়া আৰু যুক্তি দিয়াঃ
8. ABC আৰু BDE দুটা সমবাহু ত্রিভুজ আৰু BC বাহুৰ মধ্যবিন্দু D। ABC আৰু BDE ত্রিভুজ দুটাৰ কালিৰ অনুপাত হ’ব-
(A) 2:1
(B) 1:2
(C) 4:1
(D) 1:4
উত্তৰঃ (C) 4:1
9. দুটা সদৃশ ত্রিভুজৰ বাহুৰ অনুপাত 4: 9। এই ত্রিভুজ দুটাৰ কালিৰ অনুপাত হ’ল
(A) 2:3
(B) 4:9
(C) 81:16
(D) 16:81
উত্তৰঃ (D) 16:81
| অনুশীলনী 6.5 |
1. ত্রিভুজৰ কিছুমান বাহুৰ দীঘ তলত দিয়া হ’ল। ইয়াৰে কোনবিলাক সমকোণী ত্রিভুজ উলিওৱা। সমকোণী ত্রিভুজৰ ক্ষেত্ৰত অতিভুজডালৰ দীঘ লিখা।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ABC ত্রিভুজৰ বাহুৰ দীঘ AB = 7cm BC = 24cm AC = 25cm
∴ AB² + BC² = (7)² + (24)²
= 49 + 576 = 625
আকৌ, AC² = (25)² = 625
∴ AB² = BC² = AC²
∴ ∆ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ। অতিভুজ ডালৰ দীঘ = 25cm.
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল PQR ত্রিভুজৰ PQ = 3cm PQ = 8cm PR = 6cm
∴ PQ² + PR² = (3)² + (6)²
= 9 + 36 = 45
∴ OR² = (8)² = 64
ইয়াত, PQ² = PR² + OR² অর্থাৎ পিথাগোৰাচৰ সূত্র সিদ্ধ নহয়।
∴ ∆PQR সমকোণী ত্রিভুজ নহয়।
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল MNP ত্রিভুজৰ MN = 50cm, NP – 80cm, MP = 100cm.
∴ MN² + NP² = (50)² + (80)²
= 2500 + 6400 = 8900
∴ MP² = (100)² = 10000
ইয়াত, MN² = NP² + MP²
∴ ∆MNP সমকোণী ত্রিভুজ নহয়।
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ABC ত্রিভুজৰ AB = 13cm BC = 12cm AC = 5cm
∴ BC² + AC² = (12)² + (5)²
= 144 + 25
= 169
∴ AB² = (13)² = 169
∴ BC² = AC² = AB²
∴ ∆MNP এটা সমকোণী ত্রিভুজ। ইয়াৰ অতিবুজ AB = 13cm
2. PQR ত্রিভুজৰ P কোণ সমকোণ আৰু QRৰ ওপৰত M এটা বিন্দু। যদি PM ⏊ QR, দেখুওৱা যে PM² = QM.MR
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ∆PQR এটা সমকোণী ত্রিভুজ। ইয়াৰ ∠P = 90° আৰু QR-ৰ ওপৰত M এটা বিন্দু এনেদৰে স্থাপন কৰা হৈছে যাতে PM + QR
∠P = 90° [প্রদত্ত]
∴ ∠1 + ∠2 = 90°……………… (1)
∠ M = 90° [ PM ⏊ QR]
∆PMQ -ৰ পৰা-
∠1 + ∠3 + ∠5 = 180°
⇒ ∠1 + ∠3 + ∠ 90° = 180°
⇒ ∠1 + ∠3 + ∠180° – 90° …….. … (2)
∴ (1) আৰু (2)-ৰ পৰা –
∠1 + ∠2 = ∠1+ ∠3
∠2 = ∠3
এতিয়া, ∆QPM আৰু ∆RPM-ৰ পৰা –
∠2 = ∠3
∠5 = ∠6 [প্রতিটো কোণ]
∴ ∆QPM ~ ∆RPM [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য]
3. চিত্র 6.53ত, ABD এটা সমকোণী ত্রিভুজ যাৰ A কোণটো সমকোণ আৰু AC1 BD. দেখুওৱা যে-
(i) AB² = BC . BD
উত্তৰঃ ∆DAB আৰু ∆DCA-ৰ পৰা
∠D = ∠D [সাধাৰণ ]
∠A = ∠C [প্রতিটো কোণ = 90°]
∴ ∆DAB ~ ∆DCA [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য……………(1)
আকৌ, ∆DAB আৰু ∆ACB-ৰ পৰা
∠B = ∠B [সাধাৰণ]
∠A = ∠C [প্রতিটো কোণ = 90°]
∴ ∆DAB ~ ∆ACB ………… (2)
(1) আৰু (2)-ৰ পৰা-
∆DAB ~ ∆ACB ~ ∆DCA
∴ ∆ACB ~ ∆DAB
(ii) AC² = BC . DC
উত্তৰঃ
(iii) AD² = BD . CD
উত্তৰঃ
4. ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যাৰ C কোণ সমকোণ। প্রমাণ E কৰা যে AB² = 2AC²
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABC এটা সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। ইয়াৰ ∠C = 90°
প্রমাণ: ABC সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ পৰা পাওঁ –
AB² = AC² + BC²
⇒ AB² = AC² + AC² [∴ AC = BC]
⇒ AB = 2AC² [প্রমাণিত]
5. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ AC = BC যদি AB² = 2AC² প্রমাণ কৰা যে ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। যাৰ AC = BC আৰু AB² = 2AC²
প্রমাণ: AB² = 2AC² (প্রদত্ত)
⇒ AB² = AC² + AC²
⇒ AB² = AC² + BC² [∴ AC = BC), ই পিথাগোৰাচৰ সূত্র।
∴ ∆ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ। [প্রমাণিত]
6. এটা সমবাহু ত্রিভুজ ABC ৰ বাহুৰ দীঘ 2a। ইয়াৰ প্ৰতিটো উন্নতিৰ দীঘ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
∆ABC এটা সমবাহু ত্রিভুজ। ইয়াৰ প্ৰতিটো বাহু = 2a
AD ⏊ BC টনা হ’ল।
∴ AB = AC = BC = 2a
∴ ∆ADB = ∆ADC
[R-H S স্বীকার্য্য মতে]
∴ BD = DC = a
∴ সমকোণী ত্রিভুজ ADB-ৰ পৰা
AB² = AD² + BD²
⇒ (2a)² = AD² + (a)²
⇒ 4a² – a² = AD²
⇒ AD = √3a²
⇒ AD = √3a
∴ উন্নতি = √3a একক।
7. প্রমাণ কৰা যে এটা ৰম্বাচৰ বাহুবিলাকৰ বৰ্গৰ যোগফল তাৰ কৰ্ণ দুডালৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্র: ABCD এটা ৰঙ্কাচ। ইয়াৰ কৰ্ণদ্বয় AC আৰু BD পৰস্পৰ লম্বভাবে বিন্দুত ছেদ কৰিছে।
প্রমাণ: বম্বাছৰ কর্ণদ্বয় সমকোণত দ্বি-খণ্ডিত হয়।
∴ AO = CA; BO = DO
∴ ∆ΑΟΒ সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
AB² = AO² + BO² ……………(1) [পিথাগোৰাচৰ সূত্র]
অনুৰূপভাবে,
BC² = CO² + BO² ……….(2)
CD² = CO² + DO² ………… (3)
আৰু DA = DO² + AO²………… (4)
∴ (1) + (2) + (3) + (4) কৰি পোৱা যায় –
AB² + BC² + CD² + DA²
= 2AO² + 2CO² + 2BO² + 2DO²
= 4A0² + 4B0² [∴ AO = CO আক BO = DO]
= (2AO)² + (2BO)² = AC² + BD² [প্রমাণিত]
8. চিত্র 6.54ত, ABC ত্রিভুজৰ O এটা অন্তঃস্থ বিন্দু আৰু OD ⏊ BC, OE ⏊ AC আৰু OF⏊ AB. দেখুওৱা যে-
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OF² – OF² = AF² + BD² + CE²,
উত্তৰঃ ∆AFO সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা:
OA² = OF² + AF² [পিথাগোৰাচৰ সূত্র]
⇒ AF² = 0A² – OF² ………(a)
∆BDO সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰাঃ
OB² = BD² + OD²
⇒ BD² = 0B² – OD² …………(b)
∆CEO সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰাঃ
OC² = CE² + OE²
⇒ CE² = OC² – OE²
এতিয়া, (a) + (b) + (c) কবি পাওঁ-
∴ AF² + CD² + CE² = OA² – OF² + OB² – OD² + OC² – OE²
= OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² [প্রমাণিত]
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
উত্তৰঃ আকৌ, AF² + BD² + CE² = (OA² – OE²) + (OC² – OD²) + (OB² – OF²) + AE² + CD² + BF² (প্রমাণিত)
[∴ AE² = A0² – OE², CD² = OC² – OD² ,BF² = OB² – OF²]
9. 10m দীঘল জখলা এডালে ভূমিৰ পৰা 8m ওপৰত থকা খিৰিকি এখন ঢুকি পায়। বেৰখনৰপৰা জখলা ডালৰ গুৰিটোৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ভূমিৰ পৰা খিৰিকিৰ উচ্চতা = 8 মিটাৰ
জখলাৰ দৈর্ঘ্য (AC) = 10 মিটাৰ, BC = ?
∴ ∆ABC-ৰ পৰা পাওঁ-
AB² + BC² = AC²
⇒ (8)² + BC² = (10)²
⇒ BC² = 100 – 64 = 36
⇒ BC = √36 = 6
∴ বেৰখনৰ পৰা জখলা ডালৰ গুৰিটোৰ দূৰত্ব (BC) = 6 মিটাৰ। (উত্তৰ)
10. 24 মিটাৰ দীঘল এডাল ভাৰ উত্তোলন কৰা জৰী (তাঁৰ) 18 মিটাৰ ওখ উলম্ব খুটা এটাত বান্ধি থোৱা আছে আৰু আনটো মূৰত এটা গধুৰ বস্তু বান্ধি থোৱা আছে। খুটাটোৰ গুৰিৰপৰা তাঁৰডালে কিমান ওপৰলৈ গধুৰ বস্তুটো দাঙি নিলে তাঁৰডাল টনটনীয়া (taut) হ’ব?
উত্তৰঃ
খুটাব (AB) উচ্চতা = 18 মিটাৰ জৰী বা তাঁৰৰ (AC) দৈর্ঘ্য = 24 মিটাৰ
BC = ?
∴ ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰাঃ
AB² + BC² = AC²
⇒ (18² + BC² = (24)²
⇒ 324 + BC² = 576
⇒ BC² = 576 – 324 = 252
⇒ BC = √252
= 6√7 মিটাৰ (উত্তৰ)
11. এখন উৰাজাহাজ এয়াৰ প’ৰ্টৰপৰা উৰা মাৰিলে আৰু ঘণ্টাত 1000 km দ্রুতিত উত্তৰ দিশে গতি কৰিলে। একে সময়তে, আন এখন উৰাজাহাজ একেটা এয়াৰপৰ্টৰপৰা পশ্চিম দিশে ঘণ্টাত 1200 km দ্ৰুতিত উৰা মাৰিলে 1 1/2 ঘণ্টাৰ পিচত দুয়োখন উৰাজাহাজৰ মাজত দূৰত্ব কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ
প্রথম উৰাজাহাজখন উত্তৰ দিশত 1 1/2 ঘণ্টাত অতিক্রম কৰা দূৰত্ব (OA)
= (100 × 3/2) = 1500 km.
∴ OA = 1500 km
আকৌ, দ্বিতীয় উৰাজাহাজখন পশ্চিম দিশত 1 1/2 ঘণ্টা অতিক্রম কৰা দূৰত্ব
(OB0 = (1200 × 3/2) = 1800 km
∴ ∆ΑΟΒ সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা:
∴ AB² = AO² + OB²
⇒ (AB)² = (1500)² + (1800)²
12. এখন সমতলত দুটা স্তম্ভ, এটা 6m আৰু 11m ওখ, থিয় হৈ আছে। যদি স্তম্ভ দুটাৰ গুৰি দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব 12m, তেন্তে সিহঁতৰ আগ দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান?
উত্তৰঃ
AB স্তম্ভ উচ্চতা = 11 মিটাৰ
CD স্তম্ভ উচ্চতা = 6 মিটাৰ
স্তম্ভ দুটাৰ গুৰিৰ মাজৰ দূৰত্ব (DB) = 12 মিটাৰ
স্তম্ভ আগ দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব (AC) =?
C-ৰ পৰা CE ⏊ AB টনা হ’ল।
∴ BC = DC = 6m
∴ AE = AB – BE = (11 – 6) মিটাৰ = 5 মিটাৰ।
∴ ∆AEC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰাঃ
AC² = AE² + EC² ⇒ AC^ 2
স্তম্ভ দুটাৰ আগে দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব 13 মিটাৰ।
13. ABC ত্রিভুজৰ C কোণ সমকোণ আৰু CA আৰু CB বাহু দুটাত D আৰু E দুটা বিন্দু। প্রমাণ কৰা যে AE² + BD² = AB² + DE²।
উত্তৰঃ
AE, BD আৰু DE সংযোগ কৰা হ’ল।
∆ABC -ৰ পৰা
AB² = AC² + BC²……….(i)
∆ACE -ৰ পৰা
AE² = CE² + AC²……….(ii)
∆BCD -ৰ পৰা
BD² = BC² + CD²……. (iii)
আৰু ∆DCE -ৰ পৰা
DE² = CE² + CD² ………(iv)
(ii) + (iii) ⇒ AE² + BD² = CE2 + AC² + BC² + CD²
⇒ AE² + BD² = (CE² + CD²) + (AC² + BC²)
⇒ AE² + BD² = DE² + AB²
14. ∆ABC ৰ A বিন্দুৰপৰা BC ৰ ওপৰত টনা লম্বই BC ক D বিন্দুত এনেদৰে ছেদ কৰে যে DB = 3CD (চিত্র 6.55 চোৱা)। প্রমাণ কৰা যে 2AB² = 2AC² + BC²।
উত্তৰঃ BD = 3CD
⇒ CD = 1/4 BC
আৰু BD = 3/4 BC
∆ABD ত AB² + BD² + AD² … (1)
∆ACD ত AC² + CD² + AD² … (2)
(2) ৰ পৰা (1) বিয়োগ কৰি আমি পাওঁ,
AB² – AC² = DB² – CD²
15. ABC সমবাহু ত্রিভুজৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দু যাতে BD = 1/3 BC। প্রমাণ কৰা যে 9AD2 = 7AB²।
উত্তৰঃ
16. প্রমাণ কৰা যে, এটা সমবাহু ত্রিভুজৰ এটা বাহুৰ বৰ্গৰ তিনিগুণ তাৰ এডাল উন্নতিৰ বৰ্গৰ চাৰিগুণৰ সমান।
উত্তৰঃ প্রমাণ: ধৰা হ’ল AB = BC = AC = 2a |
∴ AD ⏊ DC
∴ BD = DC = 1/2 BC = a
∴ ABD সমকোণী ত্রিভুজত,
AB² = AD² + BD²
⇒ (2a)² = AD² + (a)²
⇒ 4a² – a² = AD²
⇒ 3a² = AD²
⇒ AD² = 3a²
⇒ AD² = 3AB/4
⇒ 3AB² = 4AD²
17. শুদ্ধ উত্তৰটোত চিন দিয়া আৰু যুক্তি প্ৰদৰ্শন কৰা।
∆АВС ৰ AB = 6√3 cm, AC = 12cm আৰু BC = 6 cm. এতিয়া B কোণ হ’ব-
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°
উত্তৰঃ (C) 90°
| অনুশীলনী 6.6 |
1. চিত্র 6.56ত, ∠QPR কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক PS। প্রমাণ কৰা যে QS/SR = PQ/PR
উত্তৰঃ
প্রমাণ∴ PS || TR
∴ ∠2 = ∠3 (একাস্থ কোণ)
∴ ∠1 = ∠4 অনুৰূপ কোণ।
আৰু ∠1 = ∠2 (প্রদত্ত)
∴ ∠3 = ∠4
⇒ PR = PT
আকৌ, AQRT ত্রিভূজত,
PS || TR
2. চিত্র 6.57ত, ∆ABCৰ AC অতিভুজৰ ওপৰত D এটা বিন্দু। যদি BD ⏊ AC, DM ⏊ BC আৰু DN ⏊ AB. তেন্তে প্রমাণ কৰা যে-
(i) DM² = DN.MC
(ii) DN² = DM.AN
উত্তৰঃ ধৰা হল – BD ⏊ AC
∴ ∠BDC = 90°
∴ ∠BDM + ∠MDC = 90° …..(i)
ইয়াত,
∆DMC ∠DMC = 90° [∵ DM ⏊ BC, দিয়া আছে ]
⇒ ∠C = MDC = 90° ….(2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা আমি পাওঁ যে-
∠ BDM + ∠ MDC= ∠ C+ ∠ MDC
⇒ ∠ BDM = ∠C
এতিয়া,
∆BMD আৰু ∆MDC
∠BDM = ∠C
∠BMD = ∠MDC
∆BMD ~ ∆MDC
∴ DM/BM = MC/DM
⇒ DM² = BM × MC
⇒ DM² = DN × MC [∴ BM = DN]
সমান্তৰাল ∆NDA ~ ∆NBD
⇒ DN/BN = AN/DN
3. চিত্র 6.58 ত, ABC এটা ত্রিভুজ যাৰ ∠ABC > 90° আৰু AD 1 CB (বর্ধিত)। প্রমাণ কৰা যে, AC² = AB² + BC² + 2BC.BD
উত্তৰঃ B আৰু AD ত অস্পষ্ট কোণৰ সৈতে এটা অস্পষ্ট ত্ৰিভুজ ⏊ CB উৎপাদিত
দেখুওৱা যে AC² = AB² + BC² + 2BC. BD
প্ৰমাণৰ পৰা ∆ADB ত এটা ত্ৰিভুজ সোঁকোণ D.
∴ পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ দ্বাৰা, AB² = AD² + BD² → (1)
আকৌ ∆ADC সোঁকোণ থকা এটা সোঁ ত্ৰিভুজ D.
∴ পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ দ্বাৰা, AC² = AD² + DC²
= AD² + (DB + BC)²
= AD² + DB² + BC² + 2DB.BC
= AB² + BC² + 2DB.BC [By (1)]
Hence, AC² = AB² + BC² + 2BC.DD
4. চিত্র 6.59 ত, ABC এটা ত্রিভুজ যাৰ angle ABC < 90° আৰু AD ⏊ BC প্রমাণ কৰা যে AC² = AB² + BC² – 2BC.BD।
উত্তৰঃ প্রমাণ: ∆ADC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ
AC² = CD² + DA²…………(1)
আকৌ, ADB সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
AB² = AD² + DB²………..(2)
(1)-ৰ পৰা আমি পাওঁ –
AC² = AD² + (CB – BD)²
⇒ AC² = AD² + CB² + BD² – 2CB × BD
⇒ AC² = (BD² + AD²) + CB² – 2CB × BD
⇒ AC² = AB² + BC² – 2BC × BD [ (2) ব্যৱহাৰ কৰি]
5. চিত্র 6.60ত, ABC ত্রিভুজৰ AD এডাল মধ্যমা আৰু AM ⊥ BC। প্রমাণ কৰা যে-
(i) AC² = AD² + BC.DM + (BC/2)²
উত্তৰঃ প্রমাণ AMC ত্রিভুজত,
AC² = AM² + MC²
⇒ AC² = AM² + (MD + DC)²
⇒ AC² = AM² + MD² + DC² + 2MD × DC
⇒ AC² = (AM² + MD²) + (BC/2)² + 2MD(BC/2)²
⇒ AC² = AD² + BC × MD + BC²/2
[AMD সমকোণী ত্রিভুজত, AD² = AM² + MD²]
⇒ AC² = AD² + BC × MD + BC²/4 [প্রমাণিত]……….(α)
(ii) AB² = AD² – BC.DM + (BC/2)²
উত্তৰঃ AMB সমকোণী ত্রিভুজত পৰা-
AB² = AM² + BM²
= AM² + (BD – MD)²
= AM² + BD² + MD² – 2BD × MD
= (AM² + MD²) + BD² – 2(1/2 BC) MD
= AD² + (1/2 BC)² – BC. MD [∴∆AMD = AD² = AM² + MD²]
AB² = AD² + (BC/2)² – BC.MD [প্রমাণিত] …….. (b)
(iii) AC² + AB² – 2 AD² + 1/2 BC²
উত্তৰঃ (a) + (b) কৰি পাওঁ –
AB² + AC² = AD² + (BC/2)² – BC.MD
= 2AD² + BC²/4 + BC²/4
= 2AD² + 2BC²/4
⇒ AB² + AC² = 2AD² + 2 BC²/4 [প্রমাণিত]
6. প্রমাণ কৰা যে এটা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ বৰ্গৰ যোগফল তাৰ বাহুকেইডালৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান।
উত্তৰঃ
ABCD এটা সমান্তৰাল চতুৰ্ভুজ ∠B উদাৰ আৰু ∠A তীক্ষ্ণ।
তেন্তে (AC)² = (AB)² + (BC)² + 2BC BE ……..(1)
আৰু (BD)² = (AB)² + (AD)² – 2AD AF………..(2)
কিন্তু,
BC = AD [∴ বিপৰীত দিশৰ পাৰ্শ্ববোৰ সমান]
সেইদৰে ∆ADF and ∆BCF
AD = BC ∠AFD = ∠BEC [প্ৰত্যেকেই 90°]
∠DAF = ∠CBE [সমান্তৰ ∠…. যিহেতু AD || BC আৰু ABE হৈছে এটা ট্ৰেন্সভাৰ্চেল]
∴ ∆ADF ≅ ∆BCE ∴ AF = BE (C.P.C.T)
∴ 2BC .BE ≅ 2AD.AF[∵ BC = AD, BE = AF]
(1) আৰু (2) -ৰ পৰা আমি পাওঁ যে-
AC² = AB² + BC² + 2BC.BE
BD² = AB² + AD² -2BC.BE
যোগ কৰাৰ পিছত
AC² + BD² = AB² + BC² + AB² + AD² = AB² + BC² + DC² + AD² [ ∵ AB = DC ]
7. চিত্র 6.61ত, AB আৰু CD জ্যা দুডালে পৰস্পৰক P বিন্দুত ছেদ কৰে। প্ৰমাণ কৰা যে,
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP.PB = CP.DP
উত্তৰঃ ∆APC আৰু ∆DPB -ত
∠CAP = ∠PDB [একে চাৰ্কিটৰ কোণ]
∠ACP = ∠PBD [একে চাৰ্কিটৰ কোণ]
∠APC = ∠BPD [প্ৰতিস্বাভিমুখী কোণ]
∴ ∆APC and ∆DPD [সাদৃশ্য সমকোন]
সেয়েহে ∆APC ~ ∆DPB প্ৰমাণিত। (i)
∴ AP/DP = CP/PB [সমান কোণৰ বিপৰীত দিশৰ বাহুবোৰ সমানুপাতি]
⇒ AP. PB = CP. DP প্ৰমাণিত। (ii)
8. চিত্র 6.62ত, এটা বৃত্তৰ AB আৰু CD জ্যা দুডালে পৰস্পৰৰ্ক P বিন্দুত (যেতিয়া বঢ়াই দিয়া হয়) বৃত্তটোৰ বাহিৰত ছেদ কৰে। প্ৰমাণ কৰা যে
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD
উত্তৰঃ ∆PAC আৰু ∆PDB-ত
∠PAC = ∠PDB
[যিহেতু ∠PAC + ∠CAB = 180° = ∠CAB + ∠CDB ⇒ ∠PAC = ∠CDB = ∠PDB
একেদৰে, ∠APC = ∠BPD
∴ তৃতীয় কোন = তৃতীয় কোণ
∴ ∆PAC আৰু ∆PDB সাদৃশ্য সমকোণী
সেয়ে ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) যিহেতু ∆PAC ~ ∆PDB
সম্পৰ্কিত বহুগুলি সমানুপাতিক
PC/PB = PA/PD ⇒ PA. PB = PC.PD
9. চিত্র 6.63ত, ∆ABC ৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দু যাতে BD/CD = AB/AC প্রমাণ কৰা যে AD ৰেখাডাল ∠BAC কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক।
উত্তৰঃ
প্রমাণ: BCE ত্রিভুজত AD || CE
কিন্তু, AB/AE
∴ BD/DC = AB/AE
∴ AB/AE = AC/AB ⇒ AE/AB = AC/AB ⇒ AE/AC
∆ACE ৰ পৰা আমি পাওঁঃ
AE = AC ⇒ ∠3 = ∠4
∴ CE || DA, AC ছেদক
∴ ∠2 = ∠4 [একাহৰ কোণ]
আকৌ, CE || DA, BAE ছেদক
∴ ∠1 = 3
∴ ∠3 = ∠4
⇒∠1 = ∠4 ⇒∠1 = ∠2
∴ AD বেখাডাল ∠BAC -ৰ সমদ্বিখণ্ডক। [প্রমাণিত ]
10. নাজমাই এটা জুৰিত বৰশী বাই আছে। তাইৰ বৰশীৰ চিপটোৰ আগটো পানীৰ উপৰিভাগৰ পৰা 1.8m ওপৰত আছে। বৰশীৰ পুঙা (fly) টো বৰশীৰ সূতাডালৰ আনটো মূৰত লাগি আছে আৰু ই এনেভাবে পানীত ওপঙি আছে যে ইয়াৰ দূৰত্ব। তাইৰপৰা 3.6m আঁতৰত আৰু বৰশীৰ চিপটোৰ আগটোৰ ঠিক তলতে থকা পানীৰ ওপৰৰ বিন্দু এটাৰপৰা 2.4m আঁতৰত। যদি ধৰা হয় যে বৰশীৰ সূতাডাল (চিপটোৰ আগৰ পৰা পুঙাটোলৈকে) টনটনীয়া (অর্থাৎ ভাঁজ নথকা) হৈ আছে, তেন্তে সূতাডালৰ কিমানখিনি ওলাই আছে (চিত্র 6.64 চোবা)? যদি তাই সূতাডাল প্রতি চেকেণ্ডত 5 cm কৈ টানি থাকে তেন্তে 12 ছেকেণ্ড পিচত পুঙাটোৰ অনুভূমিক দূৰত্ব তাইৰপৰা কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ (i) এটা সমকোণী ∆ABC ত,
AB = 1.8 m, BC = 2.4 m
∴ AC² = AB² + BC²
AC² = (1.8)² + (2.4)²
= 3.24 + 5.75 = 9 ⇒ AC = √9 = 3m
সেয়ে, মাকু AC-ৰ মূল দৈৰ্ঘ্য (টান হ’লে) 3m
(ii) যেতিয়া নাজিমাই 5 cm/sec হাৰত মাকুটো টানে।
তেতিয়া মাকুটোৰ দৈৰ্ঘ্য হ্ৰাস পায় = 5 × 12 = 60 চেণ্টিমিটাৰ = 0.6m 12sec
∴ মাকুটোৰ অবশিষ্ট দৈৰ্ঘ্য (AD) 12sec টানাৰ পিছত
= (3 – 0.60) = 2.40m
⇒ AD = 2.4m
এতিয়া সমকোণী ∆ABD ত
AD² + DB² + AB² ⇒ DB²
= AD² – AB²
= (2.40)² – (1.80)²
= 2.52cm
∴ DB = √2.52m
= 1.587 = প্ৰায় 1.59m
নাজিমাৰ পৰা মাছৰীটোৰ আৱলম্বিক দূৰত্ব (DE) = (1.59 + 1.2)m = 2.79m
| MCQ |
1. ∆ABC ত D আৰু E ক্ৰমে AB আৰু AC ৰ ওপৰত এনে বিন্দু যাতে DE || BC. যদি AD = 2.5cm, BD = 3.0cm আৰু AE = 3.75cm তেতিয়া AC =
(a) 7.25cm
(b) 8.25cm
(c) 8.75cm
(d) 7.75cm
2. ABC আৰু PQR ত্রিভুজৰ পৰিসীমা ক্ৰমে 38cm আৰু 24cm। যদি PQ = 10cm, তেতিয়া AB = ?
(a) 10cm
(b) 20cm
(c) 25cm
(d) 15cm
উত্তৰঃ (d) 15cm
3. এটা ৰম্বাচৰ কৰ্ণৰ দৈর্ঘ্য 24cm আৰু 32cm। ৰম্বাচটোৰ পৰিসীমা–
(a) 9cm
(b) 128cm
(c) 80cm
(d) 56cm
উত্তৰঃ (c) 80cm
4. 13 মিটাৰ আৰু 7 মিটাৰ ওখ খুঁটা দুটা উলম্বভাৱে 8 মিটাৰ দূৰত্বত অৱস্থিত। খুঁটা দুটাৰ শীর্ষবিন্দুৰ দুটাৰ দূৰত্ব–
(a) 9cm
(b) 10cm
(c) 11m
(d) 12m
উত্তৰঃ (b) 10cm
5. এটা ত্রিভুজৰ শীৰ্ষৰ পৰা ভূমিলৈ টনা লম্বই ভূমিক সমানে দুভাগ কৰে। তেতিয়া ত্রিভুজটো–
(a) সমকোণী ত্রিভুজ।
(b) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(c) সুষমবাহু ত্রিভুজ।
(d) বিষমবাহু ত্রিভুজ।
উত্তৰঃ (b) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
6. এটা ত্রিভুজৰ এটা কোণৰ সমদ্বিখণ্ডকে তাৰ বিপৰীত বাহুক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে ত্রিভুজটো–
(a) সুষম বাহু ত্রিভুজ।
(b) সমবাহু ত্রিভুজ।
(c) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(d) সমকোণী ত্রিভুজ।
উত্তৰঃ (c) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
7. উলম্বভাৱে থকা 6 মিটাৰ দৈৰ্ঘ্যৰ খুঁটা এটাৰ ছাঁৰ দৈর্ঘ্য 3.6 মিটাৰ। সেই একে সময়তে 18 মিটাৰ ছাঁৰ দৈর্ঘ্য হোৱা স্তম্ভ এটাৰ উচ্চতা কিমান হ’ব?
(a) 10.8 m
(b) 28.8 m
(c) 32.4 m
(d) 30 m
উত্তৰঃ (d) 30 m
8. চিত্ৰত QA আৰু PB, AB ৰ ওপৰত লম্ব। যদি AO = 10cm, BO = 6cm আৰু PB = 9cm, তেতিয়া AQ =
(a) 12cm
(b) 15cm
(c) 13cm
(d) 14cm
উত্তৰঃ (b) 15cm
9. ABC ত্রিভুজত D আৰু E ক্ৰমে AB আৰু AC ৰ ওপৰত এনে বিন্দু যাতে DE || BC. যদি AD = 7.25cm, BD = 3.0cm আৰু AE = 3.75cm, তেতিয়া AC =
(a) 7.25cm
(b) 8.25cm
(c) 8.75cm
(d) 7.75
উত্তৰঃ (b) 8.25cm
10. ∆ABC ∠A = 90°, AB = 3cm, BC = 5cm আৰু AD⏊BC হ’লে AD ৰ দৈৰ্ঘ্য হ’ব–
(a) 5/2
(b) 12/5
(c) 5/12
(d) ∫39/2
উত্তৰঃ (b) 12/5
11. এজন মানুহে 24 মিটাৰ পশ্চিম দিশলৈ গৈ তাৰ পৰা 10 মিটাৰ উত্তৰ দিশলৈ যায়। মানুহজনে আৰম্ভ কৰা স্থানৰ পৰা কিমান দূৰত্বত আছে?
(a) 34m
(b) 17m
(c) 26m
(d) 28m
উত্তৰঃ (c) 26m
12. এটা সমকোণী ত্রিভুজৰ অতিভূজৰ দৈর্ঘ্য 25 ছে.মি.। বাকী বাহু দুটাৰ এটাৰ দৈর্ঘ্য আনটোতকৈ 5 ছে.মি. বেছি। এই বাহু দুটাৰ দৈর্ঘ্য–
(a) 10cm, 15cm
(b) 15cm, 20cm
(c) 12cm, 17cm
(d) 13cm, 18cm
উত্তৰঃ (b) 15cm, 20cm
13. এটা ত্রিভুজৰ বাহুৰ মধ্যবিন্দুকেইটা সংযোগ কৰাত চাৰিটা ত্রিভুজ পোৱা গ’ল, ইয়াৰ প্ৰত্যেকেই–
(a) আগৰ ত্রিভুজটোৰ সর্বাঙ্গসম।
(b) আগৰ ত্রিভুজটোৰ সদৃশ।
(c) এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(d) এটা সমবাহু ত্রিভুজ।
উত্তৰঃ (b) আগৰ ত্রিভুজটোৰ সদৃশ।
14. ABC আৰু BDE দুটা সমবাহু ত্রিভুজ যাতে D, BC ৰ মধ্যবিন্দু। ∆ABC আৰু ∆BDE ৰ কালিৰ অনুপাত–
(a) 1:2
(b) 2:1
(c) 1:4
(d) 4:1
উত্তৰঃ (d) 4:1
15. চিত্রত, ∠BAC = 90° আৰু AD ⏊ BC। তেতিয়া
(a) BC . CD = BC²
(b) AB . AC = BC²
(c) BD . CD = AD²
(d) AB . AC = AD²
উত্তৰঃ (c) BD . CD = AD²
16. ∆ABC ত দিয়া আছে যে AB/AC = BD/DC। যদি <B = 70° আৰু <C = 50° তেতিয়া <BAD = ?
(a) 30°
(b) 40°
(c) 45°
(d) 50°
উত্তৰঃ (a) 30°
17. ত্রিভুজ ABC ত দিয়া আছে যে AD, ∠A ৰ অন্তঃসমদ্বিখণ্ডক। যদি AB = 10cm, AC = 14cm আৰু BC = 6cm, তেন্তে CD = ?
(a) 4.8cm
(b) 3.5cm
(c) 7cm
(d) 10.5cm
উত্তৰঃ (b) 3.5cm
18. এটা ৰম্বাচৰ বাহুৰ দৈর্ঘ্য 10 ছে.মি. আৰু কৰ্ণ 12 ছে.মি.। দ্বিতীয় কৰ্ণডালৰ দৈৰ্ঘ্য–
(a) 20cm
(b) 18cm
(c) 16cm
(d) 22cm
উত্তৰঃ (c) 16cm
19. এটা চতুর্ভুজৰ ক্ৰমিক বাহুকেইটাৰ মধ্যবিন্দু সংযোগ কৰি পোৱা চতুর্ভুজটো–
(a) এটা সামান্তৰিক।
(b) এটা আয়ত।
(c) এটা বর্গ।
(d) এটা বম্বাছ।
উত্তৰঃ (a) এটা সামান্তৰিক।
20. যদি এটা চতুর্ভুজৰ কৰ্ণদুডালে পৰস্পৰ সমানুপাতত বিভক্ত হয় তেনেহ’লে চতুর্ভুজটো–
(a) সামান্তৰিক।
(b) ট্রেপিজিয়াম।
(c) আয়ত।
(d) বর্গ।
উত্তৰঃ (b) ট্রেপিজিয়াম।
