SEBA Class 10 Mathematics Chapter 9 – ত্ৰিকোণমিতিৰ কিছুমান প্ৰয়োগ হৈছে গণিতৰ এক বেজাৰি নোহোৱা, কিন্তু বাস্তৱজীৱনত বহুল ব্যৱহৃত অধ্যায়। এই অধ্যায়ৰ সহায়ত শিক্ষাৰ্থীয়ে শিকিব — উচ্চতা আৰু দূৰত্ব কিদৰে ত্ৰিকোণমিতিক অনুপাতৰ জৰিয়তে সঠিকভাৱে গণনা কৰিব পাৰি। ক’ণৰ মান, দৃশ্যৰেখা (Line of Sight), কৌণিক উচ্চতা (Angle of Elevation), আৰু কৌণিক অবনমন (Angle of Depression)ৰ দৰে বিষয়বোৰ ই বিশেষভাৱে স্পষ্ট কৰি তোলে।
এই পৃষ্ঠাত সংকলন কৰা হৈছে Chapter 9 ৰ সকলো প্ৰশ্নৰ ধাপে-ধাপে সমাধান, যি SEBA পাঠ্যপুথিৰ আধাৰত সাজি দিয়া হৈছে। এই সমাধানসমূহে শিক্ষাৰ্থীক কেৱল পৰীক্ষাত সহায় নকৰে, বাস্তৱ অভিজ্ঞতাতো যুক্তিবাদী চিন্তাধাৰা গঢ়ি তোলে।
| অনুশীলনী – 9.1 |
1. ভূমিলৈ এটা উলম্ব খুঁটিৰ শীৰ্ষৰপৰা টানকৈ টনা আৰু বন্ধা এডাল 20 মিটাৰ দীঘল ৰছীৰ ওপৰত এজন চার্কাচ কৌশলীয়ে বগাই আছে। ৰছীডালে ভূমি সমতাৰ লগত উৎপন্ন কৰা কোনটো 30° হ’লে, খুঁটিটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা (চিত্র 9.11 চোৱা)।
উত্তৰঃ ৰছীৰ (AC) দৈর্ঘ্য = 20 মিটাৰ। ∠C = 30°
খুটিটোৰ উচ্চতা (AB) = ?
সমকোণী ত্রীভূজৰ পৰা আমি পাওঁ –
AB/AC = sin 30°
⇒ AB/20 = 1/2 ⇒ 2AB = 20 ⇒ AB = 20/2 = 10 মিটাৰ।
∴ খুটিটোৰ উচ্চতা = 10 মিটাৰ।
2. ধুমুহাৰ ফলত এজোপা গছ ভাঙে আৰু ভঙা অংশটো ভাঁজ খাই গছজোপাৰ মূৰটোৱে ভূমিক স্পর্শ কৰি তাৰ লগত 30° কোণ উৎপন্ন কৰে। গছজোপাৰ পাদবিন্দু আৰু ভূমিক স্পর্শ কৰি থকা মুৰটোৰ বিন্দুৰ মাজত দূৰত্ব ৪ মিটাৰ। গছজোপাৰ উচ্চতা নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰিলোৱা হ’ল ভঙাৰ আগতে গছটো উচ্চতা = BD; ধুমুহাৰ পিছত; ভঙা অংশ, AD = AC হ’ব। ∠ = 30°, ভূমি (BA) = 8 মিটাৰ। গছজোপাৰ উচ্চতা (BD) = ?
আমি ABC সমকোণী ত্রিভুজপ পৰা পাওঁ- আকৌ,
AB/BC = tan 30°
⇒ h₁/8 = 1/√3
⇒h₁ = 8/√3 = 8 × √3/√3 × √3 মিটাৰ।
আকৌ, AB/BC = tan 30°
⇒ 8/h₁ = √3/2
3. এজনী ঠিকা কাম কৰা ছোৱালীয়ে ল’ৰা-ছোৱালীৰ বাবে খেলিবলৈ এখন বাগিচাত দুখন ‘শ্লাইড’ (slide) স্থাপন কৰাৰ আঁচনি লয়। 5 বছৰ বয়সৰ তলৰ ল’ৰা-ছোৱালীৰ বাবে তাই শীর্ষ 1.5 মিটাৰ উচ্চতাত থকাকৈ আৰু ভূমিৰ লগত 30° কোণত হালি থকা এখন ‘শ্লাইড’ পছন্দ কৰে। আনহাতে, ডাঙৰ ল’ৰা-ছোৱালীৰ বাবে তাই 3 মিটাৰ উচ্চতাত থকাকৈ আৰু ভূমিৰ লগত 60° কোণত হালি থকা এখন আওগৰীয়া ‘শ্লাইড’ বিচাৰে। প্ৰতিটো ক্ষেত্রতে শ্লাইডৰ দৈর্ঘ্য কিমান হোৱা উচিত?
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল AB = h মি.,
আমি ABC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
AB/BC = tan 30°
= (10 × 1.732) মিটাৰ = 17.32 মিটাৰ (প্রায়)
∴ স্তম্ভটোৰ উচ্চতা = 17.32 মিটাৰ (প্রায়)
4. এটা স্তম্ভৰ পাদবিন্দুৰপৰা 30 মিটাৰ আঁতৰত ভূমিত থকা এটা বিন্দুৰপৰা স্তম্ভৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 30°। স্তম্ভটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল ভূমিৰ পৰা চিলা (kite) ৰ উচ্চতা (BC) = 60 মিটাৰ। ভূমিৰ লগত সূতাডালৰ হেলন 60°।
অর্থাৎ ∠A = 60° । সূতাডালৰ দৈর্ঘ্য (AC) নির্ণয় কৰিব লাগে।
এতিয়া, ABC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
CB/CA = sin 60°
= 120√3/3 = 40√3 মিটাৰ।
∴ সূতাডালৰ দৈর্ঘ্য = 40√3 মিটাৰ। (উত্তৰ)
5. ভূমিৰ ওপৰত 60 মিটাৰ উচ্চতাত চিলা উৰি আছে। চিলাখনৰ লগত সংলগ্ন সূতাডাল ভূমিৰ এটা বিন্দুত অস্থায়ীভাবে গাঁঠি দিয়া হ’ল। ভূমিৰ লগত সূতাডালৰ হেলন 60°, সূতাডাল ঢিলা নহয় বুলি ধৰি লৈ সূতাডালৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল ∆AOB সমকোণী ত্রিভুজ
OB = সূতাডালৰ দৈর্ঘ্য
AB = 60 m = চিলাটোৰ উচ্চতা
∴ OB/AB = cosec 60°= 2/√3
⇒ OB/60 = 2 √3 ⇒ OB = 2 × 60/√3
⇒ OB = 120√3/√3 × √3 = 40√30
গতিকে সূতাডালৰ দৈর্ঘ্য 40√3m
6. 1.5 মিটাৰ ওখ ল’ৰা এজনে 30 মিটাৰ ওখ অট্টালিকাৰ পৰা কিছু দূৰত্বত থিয় হৈ আছে। তেওঁ অট্টালিকাটোৰ ফালে খোজ কঢ়াৰ লগে লগে তেওঁৰ চকুৰপৰা অট্টালিকাটোৰ শীৰ্ষলৈ উঠন কোণ 30° ৰ পৰা 60° লৈ বাঢ়ে। তেওঁ অট্টালিকাটোৰ ফালে খোজ কঢ়া দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল, ল’ৰাটোৰ উচ্চতা = AB, অট্রালিকাটোৰ উচ্চতা = CE
আৰু ল’ৰাটোৰচকুৰ পৰা অট্রালিকাটোৰ শীৰ্ষৰ দীঘ CF আৰু CA
এতিয়া, AB = 1.5m
CE = 30m
∴ CD = CE – DE
= CE – AB (∵DE = AB)
= 30m – 1.5m
= 28.5m
আৰু ∠CFD = 60°
আৰু ∠CAD = 30°
এতিয়া,
∆ADC ৰ 4 CD/4D = tan 30°
⇒ 28.5/4D = 1/√3
⇒ AD = 28.5√3m
∆CDF ৰ পৰা CD/DF = tan 60°
⇒ 28.5/DF = √3
⇒ DF = 28.5/√3
⇒ DF = 9.3√3
∴ AF = AD – DF
= 28.5√3 – 9.5√3
= 19√3m
∴ ল’ৰাটোৱে খোজকঢ়া দূৰত্ব AF = 19√3m
7. ভূমিৰ এটা বিন্দুৰ পৰা 20 মিটাৰ ওখ এটা অট্টালিকাৰ ওপৰত স্থাপন কৰা এটা প্ৰেৰণ স্তম্ভৰ (Transmission tower) পাদবিন্দু আৰু শীৰ্ষৰ উঠন কোণ যথাক্রমে 45° আৰু 60°, স্তম্ভটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল অট্টালিকাটোৰ উচ্চতা BC
BC = 20m
আৰু স্তম্ভটোৰ উচ্চতা CD।
ধৰা হ’ল A বিন্দুৰ পৰা B বিন্দুলৈ দূৰত্ব। মিটাৰ
এতিয়া ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা
BC/AB = tan 45° = 1
⇒ 20/y = 1 ⇒ y = 20 m i.e., AB = 20m
এতিয়া ∆ABD সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা
BD/AB = tan 60° = √3
⇒ BD/20 = √3
⇒ 20 + x/20 = √3 ⇒ 20 + x = 20√3
⇒ x = 20√3 – 20 = 20 [√3 – 1]
⇒ x = 20 [1.732 – 1]
⇒ x = 20 × 0.732 = 14.64
8. এটা পকা ভেটিৰ ওপৰত 1.6 মিটাৰ ওখ মূর্তি এটা থিয় হৈ আছে। ভূমিৰ এটা বিন্দুৰপৰা মূৰ্তিটোৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 60° আৰু একেটা বিন্দুৰপৰা ভেটিটোৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 45°। ভেটিটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল, মূৰ্তিটোৰ উচ্চতা AB, পকী ভেটিটোৰ উচ্চতা BC আৰু ভেটিটোৰ পৰা ভূমিৰ বিন্দুটোৰ দূৰত্ব CD
∴ BC = ?
∆BCD ৰ BC/CD = tan 45°
⇒ BC/C = 1
⇒ BC = CD ……….(i)
আৰু ∆ACD ৰ AC/CD = tan 60°
⇒ BC + 1.6/CD = √3
⇒ BC + 1.6 = BC √3
⇒ BC √3) – BC = 1.6
⇒ BC (√3 – 1) = 1.6
⇒ BC = 1.6/√3 – 1)
9. এটা স্তম্ভৰ পাদবিন্দুৰপৰা এটা অট্টালিকাৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 30° আৰু অট্টালিকাটোৰ পাদবিন্দুৰ পৰা স্তম্ভটোৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 60°। স্তম্ভটো 50 মিটাৰ ওখ হ’লে, অট্টালিকাটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
চিত্ৰত ধৰা হ’ল অট্টালিকাটোৰ উচ্চতা = AB = h
ধৰা হ’ল CD স্তম্ভৰ উচ্চতা
∴ CD = 50m
এতিয়া ∆BAC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ-
AC/AB = cot 30° = √3
⇒ AC/h = √3 ⇒ AC = h√3 ………(i)
আকৌ ∆DCA সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ-
DC/AC = tan 60°
⇒ 50/AC = √3 ⇒ AC = 50/√3 …………(2)
(1) আৰু (2)ৰ পৰা আমি পাওঁ
√3 h = 50/√3
⇒ h = 50/√3 × 1/√3 = 50/3
গতিকে অট্টালিকাটোৰ উচ্চতা = 16 2/3 m
10. এটা 80 মিটাৰ বহল ৰাস্তাৰ দুয়োফালে সমান উচ্চতাৰ দুটা খুঁটি ইটোৱে সিটোৱে সম্মুখবর্ত্তী হৈ থিয় দি আছে। ৰাস্তাত খুঁটি দুটাৰ মাজৰ বিন্দু এটাৰ পৰা খুঁটি দুটাৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ যথাক্রমে 60° আৰু 30°, খুঁটি দুটাৰ উচ্চতা আৰু খুঁটি দুটাৰ পৰা বিন্দুটোৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল, স্তম্ভ দুটাৰ উচ্চতা AB আৰু CD
ভূমিৰ এটা বিন্দু E ∠AEB = 60°
আৰু ∠DEC = 30°
এতিয়া, ∆ΑΒΕ – ৰ
AΒ/BE = tan 60°
⇒ AB = BE √3………….(1)
আকৌ ∆CDE ৰ
CD/CE = tan 30°
⇒ CD/80 – EE = 1 √3
⇒ AB = 80 – BE/√3
(i) আৰু (ii) -ৰ পৰা
BE √3 = 80 – BE/√3
⇒ 3BE = 80 – BE
⇒ 4BE = 80
⇒ BE = 20
(i) ⇒ AB = BE √3 = 20√3
∴ স্তম্ভ দুটাৰ উচ্চতা AB = CD = 20√3m
11. এটা খালৰ এটা পাৰত এটা টেলিভিচন স্তম্ভ (TV tower) উলম্বভাবে থিয় হৈ আছে। স্তম্ভৰ পোনে পোনে বিপৰীত দিশে আনটো পাৰত থকা এটা বিন্দুৰ পৰা স্তম্ভৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 60°। স্তম্ভৰ পাদবিন্দুৰ লগত এই বিন্দুটো সংযোগী ৰেখাত থকা এই বিন্দুটোৰ পৰা 20 মিটাৰ আঁতৰত থকা আন এটা বিন্দুৰপৰা স্তম্ভৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 30° (চিত্র 9.12 চোৱা)। স্তম্ভাটোৰ উচ্চতা আৰু খালটোৰ প্ৰস্থ নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল টেলিভিচন স্তম্ভৰ উচ্চতা AB = hm
ধৰা হ’ল ‘C’ বিন্দুটো এনে যাতে BC = x আৰু CD = 20m
এতিয়া ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ
AB/BC = tan 60°
⇒ h/x = √3
⇒ h = √3x …….(1)
∆ABD সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা আমি পাওঁ-
AB/BD = tan 30°
⇒ h/x + 20 = 1/√3
(1) আৰু (2)ৰ পৰা আমি পাওঁ-
√3x = x + 20/√3
⇒ 3x = x + 20
⇒ 3x – x = 20
⇒ 2x = 20
⇒ x = 20/2 = 10
এতিয়া, (1)ৰ পৰা আমি পাওঁ-
h = √3 × 10 = 1.732 × 10 = 17.32
স্তম্ভটোৰ উচ্চতা = 17.32m নদীখনৰ প্ৰস্থ = 10 m.
12. এটা 7 মিটাৰ ওখ অট্টালিকাৰ শীৰ্ষৰপৰা এটা কেবল স্তম্ভৰ (cable tower) শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 60° আৰু ইয়াৰ পাদৰ পতন কোন 45°। স্তম্ভটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল BD = h মিটাৰ (কেৱল স্তম্ভৰ উচ্চতা), AE = 7 মি. (অট্টালিকাৰ উচ্চতা)।
স্তম্ভৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ 60° আৰু ইয়াৰ পাদৰ পতন কোণ 45° । স্তম্ভৰ উচ্চতা (h) নির্ণয় কৰিব লাগে।
∆BAE সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
AB/AE = cot 45°
⇒ AB/7 = 1
⇒ AB = 7 মিটাৰ…………..(1)
আকৌ, ∆DCE সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
EC/DC = cot 60°
⇒EC/h – 7 = 1 √3 ⇒ AB = 7
⇒ EC = h – 7/√3
কিন্তু, AB = EC (প্রদত্ত)
∴ (1) আৰু (2) ৰ পৰা পাওঁ –
h – 7/√3 = 7
⇒ h – 7 = 7√3 ⇒ h = 7√3 + 7 = 7(√3 + 1)
⇒ h = 7(1.732 + 1) = 7(2.732) = 19.124 মি.
⇒ h = 19.12 মি. (প্রায়)
∴ স্তম্ভৰ উচ্চতা = 19.12 মি. (প্রায়)।
13. এটা 75 মিটাৰ ওখ লাইট-হাউচৰ শীৰ্ষৰ পৰা পৰ্য্যবেক্ষণ কৰাত সাগৰৰ সমতাত দুখন জাহাজৰ পতন কোণ যথাক্রমে 30° আৰু 45°. যদি লাইট-হাউচটোৰ একেফালে এখন জাহাজ আনখনৰ ঠিক পিছফালে থাকে, তেন্তে জাহাজ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
চিত্ৰত ধৰা হ’ল AB লাইচ হাউচৰ উচ্চতা
AB = 75m B বিন্দুৰ পৰা আৰু D জাহাজ দুখনৰ পতন কোণ ক্রমে 45″ আৰু 30″
এতিয়া ∆ABC সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা আমি পাওঁ-
AB/AC = tan 45°
75/AC = 1 ⇒ AC=75 ………..,(i)
আকৌ ∆ABD সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ-
AB/AD = tan 30°
⇒ 75/AD = 1 √3 ⇒ AD = 75√3……….(2)
যিহেতু জাহাজ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব = CD
= AD – AC = 75√3 – 75 = 75 [√3 – 1]
= 75 [1.732 – 1] = 75 × 0.732 = 54.9
গতিকে জাহাজ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব = 54.9m
14. এজনী 1.2 মিটাৰ ওখ ছোৱালীয়ে ভূমিৰপৰা 88.2 মিটাৰ উচ্চতাত থকা অনুভূমিক ৰেখাত এটা বেলুন বতাহত লৰি থকা দেখিলে। ছোৱালীজনীৰ চকুৰ পৰা বেলুনটোৰ উঠন কোণ যিকোনো মুহূৰ্তত 60°. কিছু সময়ৰ পিছত, উঠন কোণ 30° তললৈ নামে (চিত্র 9.13 চোৱা)। বেলুনটোৱে সেই সময়চোৱাত পৰিভ্ৰমণ কৰা দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল 1.2 মিটাৰ ওখ ছোৱালীৰ অৱস্থান A BE = CD = 88.2 মিটাৰ (বেলুনৰ উচ্চতা)। বিভিন্ন দূৰত্বত বেলুনটোৰ উঠনটোৰ উঠনকোণ 30° আৰু 60°। বেলুনটোৰ পৰিভ্ৰমণ কৰা সময় চোৱাত দূৰত্ব নির্ণয় কৰিব লাগে।
আমি. ABE সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
AB/BE = cot 60°
⇒ x/88.2 = 1/√3 1
⇒ x = 88.2/√3 মিটাৰ …………..(1)
আকৌ, ∆ACD সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
AC/CD = cot 30°
⇒ x + y = 88.2 = √3
⇒ x + y = 88.2 √3
⇒ 88 2 √3 + y = 88.2 √3
[(1) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ y = 58.8 × 1.732 = 101.841 = 101.84 মিটাৰ।
∴ বেলুনটোৰ সেই সময় চোৱাত পৰিভ্ৰমণ কৰা দূৰত্ব = 101.84 মিটাৰ।
15. এটা পোনপোটিয়া ঘাইপথ এটা স্তম্ভৰ পাদ বিন্দুলৈ আগবাঢ়ি গৈছে। স্তম্ভটোৰ শীৰ্ষত এজন মানুহ থিয় হৈ সুষম গতিত স্তম্ভটোৰ পাদবিন্দুৰ ফালে আগবাঢ়ি থকা এখন গাড়ীৰ পতন কোণ 30° পৰ্য্যবেক্ষণ কৰে। ছয় চেকেণ্ড পিছত, গাড়ীখনৰ পতন কোণ 60° পোৱা হ’ল। এই বিন্দুটোৰপৰা স্তম্ভটোৰ পাদবিন্দু ঢুকি পাবলৈ গাড়ীখনৰ লগা সময় নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
∴ AD দূৰত্ব অতিক্ৰম কৰিবলৈ সময় লাগিব 6/2 অর্থাৎ 3 ছেকেণ্ড।
গতিকে বিন্দুটোৰ পৰা স্তম্ভটোৰ পাদবিন্দু ঢুকি পাবলৈ গাড়ীখনৰ লগা সময় 3 ছেকেণ্ড।
16. এটা স্তম্ভৰ পাদবিন্দুৰপৰা 4 মিটাৰ আৰু 9 মিটাৰ দূৰত্বত একে সৰলৰেখাত থকা দুটা বিন্দুৰপৰা স্তম্ভটোৰ শীৰ্ষৰ উঠন কোণ দুটা পূৰক। প্ৰমাণ কৰা যে স্তম্ভটোৰ উচ্চতা 6 মিটাৰ।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল CD = h মিটাৰ (স্থম্ভৰ উচ্চতা)। স্থম্ভৰ পাদবিন্দুৰ পৰা 4 মিটাৰ আৰু 9 মিটাৰ দূৰত্বত একে সবলৰেখাত থকা দুটা বিন্দুৰ পৰা হস্তটোৰ শীৰ্ষৰ উঠা কোণ দুটা পূৰক।
অর্থাৎ BC = 4 মি. আৰু AC = 9 মি.। ∠CBD = θ আৰু ∠CAD = (90° – θ)
এতিয়া, BCD সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
CD/BC = tan θ
⇒ h/4 = tan θ …………..(1)
⇒ x = 88.2/√3 মিটাৰ …………(1)
আকৌ, ACD সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
CD/AC = tan(90° – θ)
⇒ h/9 = cot θ ………..(2)
এতিয়া, (1) আৰু (2) – ৰ পৰা পাওঁ –
h/4 × h/9 = tan θ × cot θ
⇒ h²/36 = tan θ × 1/tan θ
⇒ h²/36 = 1
⇒ h² = 36
⇒ h = √36 = 6
∴ স্থম্ভৰ উচ্চতা = 6 মিটাৰ (প্রমাণিত)
